2. Характеристики і властивості систем управління

2.1. Методи опису властивостей систем управління.

До основних методів отримання|здобуття| математичного опису об'єктів і систем управління відносять:

• аналітичні - базуються на використанні рівнянь, в т.ч. диференціальних;

• експериментальні - припускають|передбачають| проведення серії експериментів на реальному об’єкті;|

•комбіновані методи - найбільш ефективні, коли, використовуючи аналітично отриману|одержувати| структуру об'єкту, її параметри визначають в ході експериментів на реальному об’єкті |.

У теорії автоматичного управління використовуються різні методи опису властивостей систем управління:

• статичні характеристики

• динамічні характеристики

• диференціальні рівняння

• передавальні|передаточні| функції

• частотні характеристики

• словесний (текстовий, табличний) опис.

Статичними, динамічними, частотними характеристиками, диференціальними рівняннями і передавальними|передаточними| функціями є точні математичні методи опису властивостей систем.

Словесний опис, на відміну від математичних методів опису властивостей систем, допомагає зрозуміти принцип дії системи, її призначення, особливості функціонування і так далі. Проте|однак|, що саме головне, він не дає кількісних оцінок якості регулювання, тому не придатний для вивчення характеристик систем і побудови|шикування| систем автоматизованого управління.

2.2. Статичні характеристики

Статична характеристика елементу – це функціональна залежність сталих значень вихідної величини від значення величини на вході системи, тобто:

Yвст| = ц (X) (2.1)

Статичну характеристику зображають|змальовують| у вигляді кривої Y(X) – див. мал.2.1:

Мал. 2.1 - Статична характеристика

Сталий режим (Yвст|) - це режим, при якому розбіжність|розходження| між дійсним значенням регульованої величини і її заданим значенням буде постійною в часі.

Статичний елемент – це елемент, у|біля| якого при постійній вхідній дії з часом встановлюється постійна вихідна величина. Наприклад, при подачі на вхід нагрівача різних значень напруги|напруження| він нагріватиметься до відповідних цій напрузі|напруженню| значень температури.

Астатичний|нестійкий| елемент - у|біля| якого при постійній вхідній дії сигнал на виході безперервно росте|зростає| з|із| постійною швидкістю, прискоренням і так далі.

Лінійний статичний елемент - це безінерційний| елемент, що має лінійну статичну характеристику вигляду|виду|:

Yвст| = k*X| + b (2.2)

Як видно|показний| з|із| формули (2.2), статична характеристика елементу має вид прямої.|із| Лінійні статичні характеристики, на відміну від нелінійних, зручніші для вивчення завдяки своїй простоті. Якщо модель об’єкта| нелінійна, то зазвичай|звично| її перетворюють до лінійного вигляду|виду| шляхом методу лінеаризації.

Система управління називається статичною, якщо при постійній вхідній дії помилка управління Е прагне до постійного значення, залежного від величини дії.

Система управління називається астатичною|нестійкою|, якщо при постійній вхідній дії помилка управління Е прагне до нуля|нуль-індикатора| незалежно від величини дії.

2.3 Динамічні характеристики

Перехідний процес - це перехід системи від одного сталого режиму до іншого при яких-небудь вхідних діях. Перехідні процеси зображуються|змальовують| графічно у вигляді кривої Y(t).

Наприклад, процес нагріву в печі до сталого значення Yвст. | може мати вигляд|вид|, представлений|уявляти| на малюнку 2.2.

Мал. 2.2 - Перехідний процес нагріву в печі

Перехідний процес характеризує динамічні властивості системи і її поведінку.

Оскільки вхідні дії можуть змінюватися в часі, то і перехідні характеристики будуть кожного разу різні|. Для простоти аналізу систем вхідні дії X(t) приводять|призводять| до одного з типових видів, представлених|уявляти| на рис.2.3:

Мал. 2.3 - Види вхідних дій

Залежно від виду вхідної дії функція Y(t) може мати різне позначення:

Перехідна характеристика h(t) - реакція об’єкта| на одиничну|поодиноку| ступінчасту|східчасту| дію за нульових початкових умов, тобто при х(0)= 0 і у|біля|(0)= 0.

Імпульсна характеристика щ(t) - реакція об’єкта| на д-функцию| за нульових початкових умов.

При подачі на вхід об’єкта| синусоїдального сигналу, на виході, як правило, в сталому режимі виходить також синусоїдальний сигнал, але|та| з|із| іншою амплітудою і фазою:

Y(t)= A_ВиХ| * sin|(щ*t| + ц) (2.3)

де: A_ВиХ| - амплітуда, щ - частота сигналу, ц - фаза.

Частотна характеристика (ЧХ, АФХ і ін.) –це функціональна залежність амплітуди і фази вихідного сигналу системи в сталому режимі при подачі |застосуванні| на вхід синусоїдальної (гармонійної) дії.

Види частотних характеристик (ЧХ):

• АФХ - залежність амплітуди і фази від частоти (зображується|змальовує| на комплексній площині|площині|);

• АЧХ - залежність амплітуди від частоти;

• ФЧХ - залежність фази від частоти;

• ЛАХ, ЛАЧХ - логарифмічні АЧХ.

2.4. Типові ланки систем регулювання

2.4.1. Типова панка системи регулювання – це елемент, що має певні динамічні властивості. Типові |ставленні|. ланки систем регулювання можуть мати різну фізичну основу (електричні, пневматичні, механічні і ін. ланки), але|та| відноситися до однієї групи,так як вони мають однакові динамічні властивості. Співвідношення вхідних і вихідних сигналів в типових ланках однієї групи описуються однаковими передавальними|передаточними| функціями.

Прості типові ланки, приведені на мал.2.4 (на малюнку представлені|уявляти| перехідні характеристики і передавальні|передаточні| функції):

• а) підсилююча

• б), в) інтегруюча ідеальна, інтегруюча реальна

• г) диференцююча (ідеальна, реальна)

• д) аперіодична інерційна

• е) коливальна

• і) запізнююча

Мал. 2.4 - Перехідні характеристики і передавальні|передаточні| функції типових ланок.

Пояснення до малюнка 2.4:

а) Підсилювальна або пропорційна ланка |пропорціональну| підсилює|посилює| вхідний сигнал в К раз. Рівняння ланки у|біля| = К*х, передавальна|передаточна| функція W(р) = К (де - К коефіцієнт посилення). Приклад|зразок| підсилювальної ланки - механічні передачі, датчики. Підсилювальна ланка є|з'являється| безінерційною ланкою.

б) Ідеальна інтегруюча ланка має вихідну величину, пропорційну|пропорціональну| інтегралу від вхідної величини. При подачі сигналу на вхід ланки, вихідний сигнал постійно зростає. Ідеальна інтегруюча ланка є|з'являється| астатичною|нестійкою|, оскільки не має сталого режиму.

в) Реальна інтегруюча ланка має передавальну|передаточну| функцію представлену|уявляти| на малюнку 2.4-в. Реальна інтегруюча ланка є|з'являється| ланкою із|із| запізнюванням. Перехідна характеристика на відміну від ідеальної ланки є|з'являється| кривою. Приклади|зразки| інтегруючої ланки: ємкість|місткість|, що наповнюється водою; інтегральний імпульсний виконавчий механізм.

г) Ідеальні диференцюючі ланки фізично не реалізовуються. Реальними діфференцюючими ланками є диференцюючі ланки більшості об’єктів|. Перехідна характеристика і передавальна|передаточна| функція приведена на рис.2.4-г.

д) Аперіодична (інерційне) ланка першого порядку|ладу| представлена|уявляти| на мал.2.4-д, де Т - постійна часу. Більшість теплових об’єктів є|з'являються| аперіодичними ланками. Наприклад, при подачі на вхід електричної печі напруги|напруження| її температура змінюватиметься по аналогічному закону.

е) Коливальна ланка представлена|уявляти| на мал. 2.4-е. При подачі на вхід ступінчастої|східчастої| дії амплітудою х₀| перехідна крива матиме один з двох видів: аперіодичний (при Т1  2Т2) або такий, що коливає (при Т1<2Т₂).

ж) Ланка із запізненням (на мал.2.4 не представлено|уявляти|). Передаточна|передаточна| функція ланки: Y(t)= X(t - ) або W(р)= e^-|р. Вихідна величина Y повторює вхідну величину X з|із| деяким запізнюванням . Наприклад, стрічковий транспортер, конвеєр.

2.4.2 З'єднання|сполучення| ланок систем регулювання

Досліджуємий об’єкт| з метою спрощення аналізу його функціонування розбивається на елементарні ланки. Після|потім| визначення передаточних|передаточних| функцій для кожної ланки вирішується|розв'язується| завдання|задача| об’єднання їх в одну передаточну|передаточну| функцію об’єкта|. Вид передаточної|передаточної| функції об’єкта| залежить від послідовності з'єднання|сполучення| ланок:

1) Послідовне з'єднання|сполучення| ланок:

(2.4)

При послідовному з'єднанні|сполученні| ланок їх передаточні|передаточні| функції перемножуються.

2) Паралельне з'єднання|сполучення| ланок:

(2.5)

При паралельному з'єднанні|сполученні| ланок їх передаточні|передаточні| функції складаються.

2.5. Передаточна|передаточна| функція

2.5.1 Перетворення диференціальних рівнянь по Лапласу дає можливість|спроможність| ввести|запроваджувати| зручне поняття передавальної|передаточної| функції, що характеризує динамічні властивості системи.

Передавальною|передаточною| функцією називається відношення|ставлення| зображення вихідної дії Y(р) до зображення вхідного X(р) за нульових початкових умов.

(2.6)

Передавальна|передаточна| функція є|з'являється| раціональною для дробу функцією комплексної змінної:

(2.7)

де:

B(p)= b_0| + b₁p| + b₂| p²| + . + b_m| p^m| - поліном чисельника

А(p)= a₀| + a₁p| + a₂| p²| + . + a_n| p_n| - поліном знаменника.

Передаюча|передаточна| функція має порядок|лад|, який визначається порядком|ладом| полінома знаменника (n).

З|із| формули (2.6) виходить, що зображення вихідного сигналу можна знайти як

(2.8)

Оскільки|тому що| передаюча|передаточна| функція системи повністю|цілком| визначає її динамічні властивості, то первинне|початкове| завдання|задача| розрахунку САР зводиться до визначення її передаючої|передаточної| функції.

При розрахунку налаштувань регуляторів|регулювальників| широко використовуються достатньо|досить| прості динамічні моделі промислових об’єктів| управління. Зокрема, використання моделей інерційних ланок першого або другого порядку|ладу| із|із| запізнюванням для розрахунку налаштувань регуляторів|регулювальників| забезпечує в більшості випадків якісну роботу реальної системи управління.

Залежно від виду перехідної характеристики (кривій розгону) найчастіше всього використовують один з трьох видів передаючої|передаточної| функції об’єкта| управління:

1) У вигляді передаючої|передаточної| функції інерційної ланки першого порядку|ладу|:

(2.9)

де: К - коефіцієнт підсилення

Т - постійна часу

 - запізнювання,

які мають бути визначені в околі номінального режиму роботи об’єкта|.

2) Для об’єкта| управління без самовирівнювання передаюча|передаточна| функція має вигляд|вид|:

(2.10)

3) Більш точніше динаміку об’єкта| описує модель другого порядку|ладу| із|із| запізнюванням:

(2.11)

2.5.2. Експериментальні методи визначення динамічних характеристик об’єктів| управління діляться на два класи:

1. Методи визначення тимчасових характеристик об’єкта| управління.

2. Методи визначення частотних характеристик об’єкта| управління.

Тимчасові методи визначення динамічних характеристик діляться, у свою чергу|своєю чергою|, на активні і пасивні.

Активні методи припускають|передбачає| подачу на вхід об’єкта| пробних тестуючих сигналів, якими є|з'являються|:

• регулярні функції часу (ступінчастий|східчастий| або прямокутний імпульси, гармонійний сигнал, періодичний двійковий сигнал) – див. розділ 2.3;

• пробні сигнали випадкового характеру|вдачі| (білий шум, псевдовипадковий двійковий сигнал - ПСДС).

Залежно від виду пробного сигналу вибирають відповідні методи обробки вихідного сигналу об’єкта| управління. Так, наприклад, при подачі на вхід об’єкту ступінчастого|східчастого| сигналу, що управляє, знімають криву розгону об’єкта||, а при подачі прямокутного імпульсного сигналу - знімають криву відгуку. Крива відгуку знімається для об’єктів||, що не допускають подачу на вхід об’єкта| ступінчастих|східчастих| сигналів.

Перевагами активних методів є|з'являються|:

• достатньо|досить| висока точність отримання|здобуття| математичного опису;

• відносно мала тривалість експерименту.

Слід враховувати, що активні методи, в тій або іншій мірі|мірі|, приводять|призводять| до порушення нормального ходу технологічного процесу. Тому проведення експерименту має бути ретельно сплановане.

У пасивних методах на вхід об’єкта| не подаються ніякі|жодні| пробні сигнали, а лише фіксується природний рух об’єкта| в процесі його нормального функціонування. Отримані|одержувати| реалізації масивів даних вхідних і вихідних сигналів обробляються статичними методами. За наслідками|за результатами| обробки отримують|одержують| параметри передаючої|передаточної| функції об’єкта||. Проте|однак|, такі методи мають ряд|лаву| недоліків|нестач|:

• мала точність отриманого|одержувати| математичного опису (оскільки відхилення від нормального режиму роботи малі);

• необхідність накопичення великих масивів даних з метою підвищення точності (тисячі крапок|точок|);

• якщо експеримент проводиться на об’єкті|, охопленому системою регулювання, то спостерігається ефект кореляції (взаємозв'язку) між вхідним і вихідним сигналами об’єкта| через регулятор|регулювальника|. Такий взаємозв'язок знижує точність математичного опису.

2.6 Визначення параметрів перехідних характеристик

Для визначення динамічних властивостей об’єкта| на практиці найчастіше використовують методику зняття перехідної характеристики.

При визначенні динамічних характеристик об’єкта| по його перехідній характеристиці (кривій розгону) на вхід подається або ступінчастий|східчастий| пробний сигнал або прямокутний імпульс – див. розділ 2.3.

У другому випадку перехідна характеристика (крива відгуку) має бути добудована до відповідної кривої розгону.

Процес отримання|здобуття| передаючої|передаточної| функції об’єкта||, виходячи з даних про перехідний процес, називається ідентифікацією об’єкта||.

2.6.1 При знятті перехідної характеристики необхідно виконати ряд|лаву| умов, представлених|уявляти| в таблиці 2.1:

Умови зняття перехідної характеристики. Табл. 2.1

	Умови зняття перехідної характеристики.
	Якщо проектується система стабілізації технологічного параметра, то перехідна характеристика повинна зніматися в околиці робочої точки процесу.
2	Перехідні характеристики необхідно знімати як при позитивних, так і негативних скачках сигналу, що управляє. По вигляду кривих можна судити про ступінь асиметрії об’єкта. При невеликій асиметрії розрахунок налаштувань регулятора рекомендується вести по усереднених значеннях параметрів передавальних функцій. Лінійна асиметрія найчастіше виявляється в теплових об’єктах управління.
3	За наявності великого сигналу шуму на виході бажано знімати декілька перехідних характеристик (кривих розгону) з їх подальшим накладенням один на одного і отриманням усередненої кривої.
4	При знятті перехідної характеристики необхідно вибирати найбільш стабільні режими процесу, наприклад, нічні зміни, коли дія зовнішніх випадкових обурень маловірогідна.
5	При знятті перехідної характеристики амплітуда пробного вхідного сигналу має бути, з одного боку, достатньо великою, щоб чітко виділялася перехідна характеристика на тлі шумів, а, з іншого боку, вона має бути достатньо малою, щоб не порушувати нормального ходу технологічного процесу.

Примітка|тлумачення| до табл. 2.1: Початкові умови зняття перехідної характеристики:

У початковий момент необхідно, щоб|аби| система управління знаходилася|перебувала| у спокої, тобто регульована величина X (наприклад, температура в печі) і дія регулятора|регулювальника| Y (вихід регулятора|регулювальника| на виконавчий механізм), не змінювалися, а зовнішні збурення|збурення| були відсутні.

Наприклад, температура в печі залишалася постійною і виконавчий механізм не змінює|зраджує| свого положення|становища|. Потім на вхід виконавчого механізму подається ступінчаста|східчаста| дія, наприклад, включається нагрівач. В результаті стан|достаток| об’єкта| починає|розпочинає| змінюватися.

2.6.2. Визначення динамічних характеристик об’єкта| управління з|із| самовирівнюванням по його перехідній характеристиці.

Самовирівнюванням процесу регулювання називається властивість регульованого об'єкту після|потім| порушення рівноваги між притокою|припливом| і витратою повернутися до цього стану|достатку| самостійно, без участі людини або регулятора|регулювальника|. Самовирівнювання сприяє швидшій стабілізації регульованої величини і, отже, полегшує роботу регулятора|регулювальника|.

Процес зміни параметра Х(t) і його перехідна характеристика h(t) зображена|змальовувати| на мал. 2.5.

Знявши криву розгону, і оцінивши|оцінювати| характер|вдачу| об’єкта| управління (з|із| самовирівнюванням або без) можна визначити параметри відповідної передавальної|передаточної| функції.

Передавальну функцію вигляду (вираз 2.9) рекомендується застосовувати для об’єктів управління з явно вираженою переважаючою постійною часу. Перед початком обробки перехідну характеристику (криву розгону) рекомендується пронормувати (діапазон зміни нормованій кривій від 0 до 1) і виділити з її початкової ділянки величину чистого тимчасового запізнювання.

ПРИКЛАД|зразок|. При подачі на вхід деякого об’єкта| ступінчастої|східчастої| дії була отримана|одержувати| перехідна характеристика (див. приклад|зразок| на мал. 2.5). Потрібно визначити параметри перехідної характеристики.

Визначення динамічних характеристик об’єктів по кривій розгону проводиться методом дотичної до точки перегину перехідної характеристики (кривій розгону). В даному випадку точка перегину відповідає переходу кривої від режиму прискорення до режиму уповільнення темпу зростання вихідного сигналу.

Малюнок 2.5 - Перехідна характеристика (крива розгону) об’єкта з самовирівнюванням

По вигляду перехідної характеристики можна визначити динамічні властивості об'єкту:

К, Х_уст, d, Т, R.

1) Динамічним коефіцієнтом підсилення називається величина, що показує, в скільки разів

дана ланка підсилює вхідний сигнал (у сталому режимі), і дорівнює відношенню величини

технологічного параметра Хуст в сталому режимі до вихідної величини Y:

(2.12)

Коефіцієнт підсилення об'єкту К для об'єктів з самовирівнюванням є величиною, зворотною до коефіцієнта самовирівнювання (К = 1/с).

2) Стале значення вихідної величини Хуст - це значення Х при t- ∞ . Наприклад

максимальне значення температури в печі, яке може бути досягнуте при встановленій потужності

нагрівача.

3) В системах автоматичного регулювання, після прикладення збурюючої дії регульований параметр змінюється не миттєво, а через деякий час. Цей час називається часом запізнюванн ?d процесу в об'єкті. Розрізняють ємнісне і транспортне (передаюче або чисте) запізнювання.

Ємнісне запізнювання залежить від ємності об'єкту регулювання. Наприклад паровий котел по рівню

води в барабані має ємнісне запізнювання.

Транспортним (динамічним) запізнюванням??d називається проміжок часу від моменту зміни вхідної величини У до початку зміни вихідної величини Х. Наприклад, це може бути час після включення нагрівача, за який температура в печі досягне значення Ќ0,1Хуст.

Чим більше час повного запізнювання ?d - тим важче регулювати такий процес. З найбільш

часто регульованих параметрів найбільше запізнювання мають об'єкти, в яких регулюється температура, а найменше - об'єкти, в яких підтримується витрата рідини.

4) Постійна часу об’єкта Т може бути визначена відповідно до мал.2.5. Постійна часу об’єкта достатньо точно може бути визначена як час, за який температура досягне значення 0,63*Хвст мінус ?d1, т.е.:

Т = τ0,63 - τ d1 (2.13)

5) Максимальна швидкість зміни параметра R - нахил перехідної характеристики, може

бути визначено по формулі:

R = Xвст / Т (2.14)