§ 5. Произведения множеств
Пока мы занимались построением из существующих множеств множеств меньшего размера.
Теперь рассмотрим один из наиболее общих способов конструирования больших множеств.
Рассмотрим для иллюстрации множество размеченных клеток шахматной доски (рис. 1.10).
Рассмотрим множество столбцов, которые обозначим буквами a, b, …, h (слева направо), и множество строк от 1 до 8 (снизу вверх).
Следовательно, каждая клетка может быть однозначно задана двумя символами:
один
– из множества
другой
– из множества
например
и т.д.
Таким
образом, из множества столбцов
и
множества строк
мы образовали множество всех клеток
доски.
Определение.
Обозначим последовательность из n
элементов
через
Здесь круглые скобки используются для
того, чтобы указать на порядок, в котором
записаны элементы. Например, если
,
то последовательность
не совпадает с исходной. Будем называть:
такую последовательность набором длины n.
Например, набор длины 2 будем называть парой.
Пусть
даны n
множеств
множество
всех наборов
таких, что
,
называют
прямым
произведением
и
обозначают
Используя другие обозначения, это произведение запишем кратко:
Пример.
Пусть
Тогда
Таким образом
Мы часто будем использовать прямое произведение для одинаковых множеств.
В
этом случае будет удобнее записывать
как
