Волновые процессы в газе

При нормальных условиях расстояние между молекулами газа (порядка 10^-7м) гораздо меньше длины звуковой волны (0,2<λ<20м). Поэтому молекулярное строение газа (прерывистость – вещества) можно не учитывать и считать среду (газ) сплошной.

Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся в направлении оси x со скоростью υ, которая описывается уравнением:

(x,t)=Acos(t-kx) (1)

где ξ – смещения тонкого слоя газа, зависит от координаты x слоя в невозмущенном состоянии и от времени t;

- волновое число;

=T- длина волны;

- циклическая чистота;

А = ξ_m максимальное смешение слоя от положения равновесия.

Дифференцируя уравнения волны (1) по времени, получим:

1.Уравнение волны для скорости колебательного движения – колебательной скорости:

(2)

=А ω амплитуда колебательной скорости.

2. Уравнение волны для ускорения колебательного движения – колебательного ускорения:

a_k= (3)

Где а_кm =А ω² - амплитуда колебательного ускорения,

Выделим в области волны цилиндрический объем высотой c площадью основания S_{n .} Пусть основание цилиндра с координатой имеет в некоторый момент времени следующие , то смещение основания с координатой будет (рис. 3)

Рис. 3 Смещение слоев газа в выделенном объеме.

Следовательно, рассматриваемый объем деформируется – он получает удлинение ( - алгебраическая величина; - соответствует сжатию цилиндра).

Объем газа между слоями , тогда изменение объема (удлинение) . Найдем относительное изменение объема газа:

(4)

дифференцируя (4) второй раз по x , получим:

Учитывая (3), получим:

(5)

Уравнение (5) является волновым уравнением, решением которого является уравнение (1).

Упругая волна в газе представляет собой распространяющуюся в пространстве последовательность чередующихся областей сжатия и разряжения газа. Как показывает опыт, сжатие в любом слое настолько быстро во времени сменяется разрежением, что температуры соседних областей сжатия и разрежения, не успевают выравниваться. Т.е. распространение звука представляет собой адиабатный процесс. Найдем изменение давления, обусловленное сжатием и разряжением. Для этого продифференцируем уравнение Пуассона для адиабатного процесса: , где - показатель адиабаты, равный отношению теплоемкости газа при постоянном давлении С_Р к теплоемкости при постоянном объеме С_V .

_, откуда

(6)

Учтя (4), находим:

(7)

На газ, заключенный между слоями (рис. 3), слева и справа действуют противоположно направленные силы, обусловленные акустическим давлением в этих слоях:

(8)

(9)

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующих сил F₁ и F₂ сообщает колебательное ускорение α_k массы газа в объеме :

(10)

Откуда

или (11)

Уравнение (11) является волновым сравнивая его с уравнением (5) получим

(12)

Из уравнения Менделеева – Клапейрона найдем:

(13)

Поставив уравнение (13) в уравнение (12), определим отношение теплоемкостей:

(14)

Таким образом, для определения показателя адиабаты достаточно измерить температуру газа и скорость распространения звука.

Определение скорости звука в газе методом стоячих волн в трубе.

При сложении когерентных волн возникает интерференция, заключающаяся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

Волны, образующиеся при наложении двух встречных плоских волн с одинаковыми амплитудами и частотами, называются стоячими. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду и бегущая ей на встречу отраженная, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.

Напишем уравнения двух таких плоских волн:

ξ₁=Acos(ωt-kx)

ξ₂=Acos(ωt+kx). (14)

Сложим эти уравнения и учитывая, что , получим уравнение стоячей волны:

(15)

Из него видно, что колебания стоячей волны той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда А_ст оказывается зависящей от х:

А_ст=2Асоs .

В точках, где:

(n=0,1,2,……), (16)

амплитуда колебаний достигает максимального значения 2А. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из условия (16) найдем координаты пучностей:

. (17)

В точках, где

(n=0,1,2,……),

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют следующие значения:

(n=0,1,2,…..) (18)

Из формулы (17) и (18) следует, что расстояния между двумя соседними пучностями и узлами одинаковы и равны . Пучности и узлы сдвинуты относительно друг друга на .

Стоячие волны возникают при отражении как от менее плотной, так и от более плотной среды. Если среда , от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения возникает пучность (рис.4,б). Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний с противоположными фазами, в результате чего получается узел. Если же волна отражается от менее плотной среды, изменение фазы не происходит и у границы колебания складывается с одинаковыми фазами – образуется пучность.

В бегущей волне происходит перенос энергии колебательной движения в направлении ее распространения. В стоячей волне переноса энергии нет, т.к падающие и отраженные волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположный направлени

Рис.4. Образование стоячей волны при отражении

а)от менее плотной среды;

б)от более плотной среды.

В среде, имеющей ограниченный размер l, стоячая волна может образоваться только в том случае, когда длина l кратна целому числу :

l=n . (19)

где λ – длина бегущей волны,

n – 1,2,3,…. – целое число.

Звуковые колебания, распространяющиеся вдоль трубы, испытывают многократные отражения от торцов. Если условие (19) выполнено, то волна, отраженная от заднего торца трубы, вернувшаяся к ее началу и вновь отраженная, совпадает по фазе с падающей. Совпадающие по фазе волна усиливают друг друга. Амплитуда звуковых колебаний при этом резко возрастает - наступает резонанс.

Скорость звука υ связана с частотой ν и длиной волны λ соотношением:

υ= λ ν (20)

Плавно изменяя частоту звукового генератора, а следовательно, длину звуковой волны (при постоянной длине трубы), получим для последовательных резонансов:

(21)

Из (20) и (21) найдем

υ=2l (ν₂- ν₁)

(22)