2.4.2. Примеры решения задач

Задача № 2.8

Погрешность измерения некоторой ФВ распределена по нормальному закону. Определить вероятность того, что случайная погрешность отдельного результата не превысит более чем в 1,5 раза значение среднеквадратической погрешности (СКП).

Решение:

По условию задачи . Пользуясь формулой (2.12 [4] ), определяем нормированные границы интервала (при M[ΔX_сл]=0).

.

Так как интервал симметричный, то по таблице №1 Приложения находим значение интеграла вероятности, соответствующее ;

.

Ответ: .

Задача № 2.9

Случайная погрешность измерения напряжения распределена по нормальному закону. При обработке результатов измерений получены следующие оценки погрешностей: систематическая погрешность мВ; оценка СКП  мВ. Определить вероятность того, что результат измерения отличается от истинного значения не более чем на мВ.

Решение:

1. Определим вероятность события при условии, что поправка на систематическую погрешность не вводится. Наличие систематической погрешности делает интервал несимметричным относительно нуля. В этом случае доверительная вероятность определяется следующим образом:

,

где:  нижняя граница доверительного интервала;

 верхняя граница доверительного интервала.

Определим нормированные границы доверительного интервала:

;

.

Для определения доверительной вероятности в случае несимметричного интервала воспользуемся формулой (2.28 [4] ). Значение нормированной интегральной функции нормального распределения определяем по таблице №2 Приложения.

.

Ответ: , при

мВ.

2. Определим вероятность события при условии, что на систематическую погрешность вводится поправка, т. е. результаты измерений исправляются прежде, чем проводится статобработка. В этом случае доверительный интервал будет симметричным мВ и дальнейшее решение не отличается от решения задачи № 2.8.

Нормированные границы доверительного интервала .

.

Ответ: ,

при .

Задача № 2.10

Случайная погрешность измерения сопротивления распределена по нормальному закону. Оценка СКП Ом. Определить границы симметричного доверительного интервала, за которые с вероятностью не выйдет случайная погрешность отдельного результата измерений.

Решение:

Границы симметричного доверительного интервала определяется формулой (2.22 [4] ).

(Ом).

По таблице №1 Приложения для находим значение безразмерного коэффициента .

Следовательно,

(Ом).

Ответ: с доверительной вероятностью погрешность отдельного результата измерения не выйдет за границы Ом.

Задача № 2.11

При измерении емкости конденсатора были получены следующие результаты (в пФ):

1. 20,42	6. 20,43	11. 20,30
2. 20,43	7. 20,39	12. 20,41
3. 20,40	8. 20,42	13. 20,39
4. 20,43	9. 20,40	14. 20,40
5. 20,42	10. 20,43	15. 20,39

Анализ результатов показывает, что 11 результат существенно отличается от остальных в совокупности полученных результатов. Требуется проверить, не содержит ли этот результат грубую погрешность. Закон распределения погрешности считать нормальным.

Решение:

1. Определим параметры распределения с учетом всех результатов по формулам (2.16 и 2.17 [4] ).

пФ;

пФ.

2. Для сомнительного результата (в соответствии с 2.33 [4] ) определяем величину нормированного отклонения

.

3. Зададим уровень доверительной вероятности и по таблице №3 Приложения для числа наблюдений п = 15 найдем табличное значение β_Г =2,997 (допускаемая граница нормированного отклонения для выборки из 15 наблюдений при доверительной вероятности 0,95).

3. Так как β*₁₁ = 3,15  = 2,997, то 11 результат содержит грубую погрешность и должен быть отброшен.

Ответ: с доверительной вероятностью 11-й результат содержит грубую погрешность.

5. Определим, насколько точнее будут определены параметры распределения без 11-го результата. Воспользовавшись формулами (2.16) и (2.17) для выборки из 14-ти результатов, получаем уточненные значения:

пФ; пФ.

Таким образом, без влияния результата, содержащего грубую погрешность, доверительные границы результата измерения будут определены в два раза точнее, т. к.

.