Законы распределения вероятностей.

В ероятность того, что случайный сигнал примет некоторое фиксированное значение бесконечно мала. Поэтому можно говорить лишь о вероятности попадания случайного сигнала в некоторый интервал значений s1 < s <s2. Эта вероятность определяется следующим образом (1.7.2)

что поясняется на рис.1.17.

Функция p(s) называется дифференциальным законом распределения вероятностей, которая показывает вероятность попадания случайного сигнала в некоторый интервал ∆s = s2 - s1 при условии, что ∆s→ds. Функцию p(s) иногда называют плотностью распределения вероятностей случайного сигнала. Математически это записывается как

(1.7.3)

Если p(s) – непрерывная функция, то выполняется следующее соотношение:

(1.7.4)

где smin и smax - нижняя и верхняя границы возможных значений случайного сигнала s(t).

Выражение (1.7.2) представляет собой интегральный закон распределения вероятностей, которым в общем виде показывает вероятность того, что случайный сигнал не превышает некоторой величины s. Математически интегральный закон записывается следующим образом (1.7.5)

Дифференциальный закон связан с интегральным соотношением (1.7.6)

Статистические характеристики случайных сигналов:

• Среднее значение случайного сигнала

- усреднение по ансамблю реализаций, (1.7.7)

- усреднение по времени. (1.7.8)

Величина m характеризует постоянную составляющую случайного сигнала и в математике называется мотематическим ожиданием случайного процесса.

• Среднеквадратичное значение случайного сигнала

- усреднение по ансамблю реализаций, (1.7.9)

- усреднение по времени. (1.7.10)

Величина М характеризует полную мощность случайного сигнала.

• Дисперсия случайного сигнала

- усреднение по ансамблю реализаций, (1.7.11)

- усреднение по времени. (1.7.12)

Величина D характеризует мощность переменной систавляющей случайного сигнала.

Величина - среднеквадратичекое значение переменной составляющей случайного сигнала.

• Корреляционная функция случайных cигналов

Взаимнокорреляционная функция двух случайных сигналов s1(t) и s2(t) определяется выражением

- усреднение по ансамблю реализаций, (1.7.13)

- усреднение по времени и (1.7.14)

определяет степень связи сечений случайных сигналов s1(t) и s2(t), отстоящих друг от друга на некоторый интервал времени τ.

Если s1(t) и s2(t) один и тот же сигнал, то функция Ψ(τ) называется автокорреляционной.

Свойства автокорреляционной функции

1. Ψ(τ) – функция четная;

2. Ψ(τ) - убывающая функция;

3. При τ→0 Ψ(τ) стремится к полной мощности случайного сигнала Ψ(0);

4. При τ→∞ Ψ(τ) стремится к мощности постоянной составляющей случайного сигнала Ψ(∞);

5. Ψ(0) - Ψ(∞) = D - мощность переменной составляющей случайного сигнала.

• Энергетичесикй спектр случайного сигнала

Энергетический спектр случайного сигнала обозначается W(ω) и характеризует удельную среднюю мощность, соответствующую единичному частотному интервалу вблизи некотой частоты ω, и связан с автокорреляционной функцией парой преобразования Фурье

(1.7.15)

(1.7.16)

а так как Ψ(τ) – функция четная, то

(1.7.17)

(1.7.18)

а дисперсия случайного сигнала будет определяться через энергетический спектр в виде:

(1.7.19)