1.5.1. Амплитудно - модулированные сигналы (ам - сигналы)

Амплитудно-модулированным сигналом называется высокочастотное колебание, амплитуда которого изменяется по закону передаваемого сообщения. Этот сигнал описывается выражением

(1.5.3)

где

• А(t) – функция изменения амплитуды высокочастотного колебания, пропорциональная закону передаваемого сообщения;

• ωo – частота высокочастотного колебания;

• φo – начальная фаза высокочастотного колебания.

Рассмотрим АМ – сигнал с тональной модуляцией. При этом для простоты будем считать, что φo = 0.

Тогда где (1.5.4)

• ∆E – амплитуда модулирующего колебания;

• Ω - частота модулирующего колебания;

• М – коэффициент модуляции, равный ∆E/Е.

Полностью АМ – сигнал с тональной модуляцией запишется в виде:

Раскрыв скобки, получим

или

(1.5.5)

На рис.1.8 изображен амплитдный спектр АМ – сигнала с тональной модуляцией.

Частота ωo - Ω называется нижней боковой частотой сигнала, а частота ωo + Ω -верхней боковой частотой сигнала. Начальные фазы всех составляющих АМ сигнала с тональной мдуляцией равны нулю.

Рассмотрим АМ – сигнал, если функция изменения амплитуды – периодическая, т.е.

(1.5.6)

Для упрощения примем

Тогда

(1.5.7)

Раскрывая скобки, получим

или (1.5.8)

Амплитудный спектр рассмотренного сигнала представлен на рис.1.9.

Частоты выше ωо называются верхними боковыми частотами, а частоты ниже ωо – нижними боковыми частотами. Начальные фазы гармонических составляющих с частотами ωo - nΩ противоположны по знаку начальным фазам фазы гармонических составляющих с частотами ωo + nΩ и по модулю равны φn.

Гармоническая составляющая с частотой ωо не несет никакой информации и поэтому ее можно не передавать, а при приеме восстановить.

Такой сигнал называется АМ – сигналом с балансной модуляцией и описывается функцией

(1.5.9)

Спектр такого сигнала приведен на рис.1.10.

Как видно из последнего уравнения гармонические составляющие верхних боковых частот отличаются от гармонических составляющих нижних боковых частот только знаком перед nΩ и φn. Поэтому гармонические составляющие одной из боковых частот не несут дополнительной информации по сравнению с другой и могут быть исключены из передаваемого сообщения.

Такой сигнал называется АМ – сигналом с однополосной модуляцией и описывается функцией

или . (1.5.10)

Амплитудные спектры АМ – сигнала с однополосной модуляцией приведены на рис.1.11, а и б.

1.5.2. Модулированные сигналы с угловой модуляцией

Сигналы с угловой модуляцией делятся на фазомодулированные (ФМ) и частотномодулированные (ЧМ) сигналы.

ФМ – сигналом называется высокочастотное колебание, мнгновенная фаза которого изменяется по закону передаваемого сообщения.

ЧМ – сигналом называется высокочастотное колебание, мнгновенная частота которого изменяется по закону передаваемого сообщения. В общем виде сигнал с угловой модуляцией записывается как

(1.5.10)

Для простоты θ0 принимается равным нулю.

Связь мнгновенной частоты и мнгновенной фазы высокочастотного сигнала

Рассмотрим выскочастотный сигнал вида

где А – Const, ω – мнгновенная частота, θ = ωt - мнгновенная фаза.

Выделим два момента времени t1 и t2. Этим моментам времени соотвтствуют мнгновенные фазы θ1 = ωt1 и θ2 = ωt2.

Найдем разность мнгновенных фаз θ2 - θ1 = ∆θ = ω(t2 – t1) = ω∆t. Из полученного уравнения мнгновнная частота ω(t) = ∆θ/∆t.

-

При ∆t→dt получаем

и (1.5.11)

(1.5.12)

Фазомодулированное колебание

В общем виде фазомодулированное колебание может быть записано как

(1.5.13)

Рассмотрим случай тональной модуляции. Тогда

(1.5.14)

θmax представляет собой амплитуду изменения мнгновенной фазы ФМ – сигнала и называется индексом модуляции.

Используя выражение (1.5.11), получим мнгновенную частоту

(1.5.15)

Обозначим ωд = θmax Ω. Эта величина называется девиацией частоты и определяет диапазон изменения частоты фазомодулированного сигнала. Θmax, как правило, обозначается буквой m. На рис.1.12приведена зависимость m и ωд от Ω.

ФМ – сигнал с тональной модуляцией запишем в виде:

(1.5.16)

(1.5.17)

Рассмотрим режимы фазовой модуляции при малых и больших значениях m.

При малых индексах модуляции, т.е. при m « 1, имеют место приближенные равенства

(1.5.18)

Тогда выражение (1.5.17) переходит в следующее:

или (1.5.19)

(1.5.20)

Сравнивая (1.5.5) и (1.5.20), можно показать, что амплитудные спектры АМ – сигнала с тональной модуляцией и ФМ – сигнала с тональной модуляцией при малых индексах модуляции сопадают, различаются лишь фазовые спектры (у ФМ – сигнала начальная фаза составляющей с частотой ωо - Ω отличается на π).

При больших индексах модуляции m выражения Сos(mSinΩt) и Sin(mSinΩt) раскладываются в ряды по функциям Бесселя. Спектр такого колебания существенно расширяется и ширина спектра ФМ – сигналов при больших m значительно больше, чем у АМ – сигнала.

Частотномодулированные сигналы

В общем виде частотномодулированные сигналы описываются функцией

(1.5.21)

Рассмотрим ЧМ – сигнал с тональной модуляцией. Тогда мнгновенная частота ЧМ – сигнала будет изменяться в соответствии с законом

Тогда где (1.5.22)

ωg/Ω = m - индекс модуляции для ЧМ – колебания.

Графики зависимости индекса модуляции m и девиации частоты ωд от частоты модулирующего колебания Ω приведены на рис.1.13.

Спектры ЧМ – сигналов аналогичны спектрам фазомодулированных сигналов.