8. Спектральная плотность свертки двух сигналов

Пусть даны два сигнала s1(t) и s2(t), спектральные плотности которых равны S1(jω) и S2(jω) соответственно. Тогда свертка этих сигналов будет иметь вид

(1.3.27)

Найдем спектральную плотность сигнала в виде:

(1.3.28)

Меняя порядок интегрирования, получим

(1.3.29)

С учетом свойства задержки

(1.3.30)

Тогда а

И окончательно (1.3.31)

т.е. спектральная плотность свертки двух сигналов равна произведению спектральных плотностей этих сигналов.

*) рассмотренное преобразование Фурье можно применять к сигналам, которые описываются функциями, удовлетворяющими условию абсолютной интегрируемости, которое имеет вид

(1.3.32)

1.3.2. Ширина спектра, длительность и энергия непериодического сигнала

Для сигнала s(t) энергия Е будет определяться выражением

(1.3.33)

Выражение (1.3.33) называется равенством Парсеваля и представляет собой энергию, выделяемую на сопротивлении в 1 Ом.

Введем понятие ширины спектра сигнала и его длительности.

Шириной спектра сигнала называется интервал частот ∆ω = ωв - ωн , внутри которого сосредоточено 90% энергии сигнала.

Здесь ωн = (ωо - ∆ω/2) – нижняя граничная частота спектра сигнала, ωн = (ωо + ∆ω/2) – верхняя граничная частота спектра сигнала, ωо – средняя частота спектра сигнала.

Ширина спектра находится из выражения

(1.3.34)

ωо-∆ω/2

Длительностью сигнала называется интервал времени ∆t = tк – tн, внутри которого сосредоточено 90% энергии сигнала. Здесь tн – время начала сигнала, а tк – время его окончания. Величина ∆t находится из условия

(1.3.35)

1.4. Операторное представление сигналов

Пусть дан сигнал, который описывается функцией s(t), не удовлетворяющей условию абсолютной интегрируемости.

Введем новую функцию s1(t) = s(t) exp(-ct), где с – некоторое положительное вещественное число. Практически для любой функции s(t) можно найти такое число с, что новая функция s1(t) будет удовлетворять условию абсолютной интегрируемости. Так как с – положительное число, то для новой функции должно выполняться условие

(1.4.1)

Применяя преобразование Фурье к новой функции s1(t), получим

или (1.4.2)

(1.4.3)

Обозначив с + jω = p, получим

(1.4.4)

Найдем s1(t) через S(p)

А так как S1(jω) = S(p), то

Умножим правую и левую часть последнего выражения на exp(ct) и получим

или

(1.4.5)

Пара преобразований

(1.4.6)

носят название прямого и обратного преобразования Лапласа соответственно. Функция S(p) называется изображением сигнала s(t), а сигнал s(t) является оригиналом функции S(p). S(p) также, как и s(t) и S1(jω), полностью описывает сигнал.

Для краткости связь между оригиналом и изображением записывается в виде

s(t) ۪=۫ S(p). (1.4.7)

Если известна спектральная плотность сигнала S(jω) сигнала s(t), то S(p) можно получить из S(jω) путем формальной замены jω на p.