1.2.1. Распределение мощности в спектре периодических сигналов

Под средней за период мощностью периодического сигнала понимается величина

(1.2.6)

Представим s(t) через комплексный ряд Фурье, т.е.

(1.2.7)

Перепишем последнее выражение в виде

или

или, учитывая четность Аn (Аn = А-n) и нечетность φn (φn = -φ-n),

получим

∞

Тогда s²(t) будет содержать следующие слагаемые

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

Слагаемые 3), 4) и 5) при интегрировании по периоду обращаются в нуль. Поэтому, подставляя первые два слагаемого в выражение мощности периодического сигнала, получим

. (1.2.8)

(1.2.9)

Взяв интеграл в последнем выражении, окончательно получим мощность периодического сигнала, выделяемого на единичном сопротивлении в виде

(1.2.1)

где - мощность постоянной составляющей периодического сигнала;

- мощность переменной составляющей периодического сигнала.

Введем понятие ширины спектра периодического сигнала.

Под шириной спектра периодического сигнала понимается интервал частот ∆ω, внутри которого сосредоточено 90% переменной мощности сигнала.

Ширина спектра периодического сигнала находится из выражения

откуда ∆ω = NΩ. (1.2.11)

Это определение справедливо для периодических сигналов, максимальные составляющие амплитудного спектра которого лежат вблизи начала координат.

Для периодических сигналов, максимальные составляющие амплитудного спектра которого лежат вблизи некоторой частоты ωо, ширина спектра находится из условия

, где no находится из выражения ωо = noΩ,

а N соответствует крайним составляющим спектра периодического сигнала ωн = ωо – N Ω и ωв = ωо+N Ω, где ωо – частота составляющей спектра сигнала с максимальной амплитудой.

Тогда ширина спектра определится как ∆ω = 2NΩ.

1.2.2. Некоторые свойства спектров периодических сигналов

1. Если сигнал четный, т.е. s(t) = s(-t), то

(1.2.12)

2. Если сигнал нечетный, т. е. s(t) = - s(-t), то

(1.2.13)

3. Интервал между соседними линиями спектра периодического сигнала равен частоте основной гармоники сигнала и с увеличением периода уменьшается.

3. Спектры непериодических сигналов

Рассмотрим произвольный периодический сигнал, изображенный на рис. 1.5.

Представим этот сигнал в виде ряда Фурье в комплексной форме

Учитывая, что

получим

(1.3.1)

Так как Т = 2π/Ω, то последнее выражение перепишется в виде

(1.3.2)

Для получения непериодического сигнала из заданного периодического устремим период сигнала s(t) к бесконечности.

При Т→ ∞ непериодический сигнал s1(t), совпадающий на интервале периода с s(t), будет определяться как

. (1.3.3)

При T→∞ частота Ω стремится к dω, nΩ – к текущей частоте ω, а операция суммирования переходит в операцию интегрирования.

С учетом выше изложенного, получим

(1.3.4)

Из последнего выражения получим

– прямое преобразование Фурье и

– обратное преобразование Фурье.

S(jω) называется спектральной плотностью непериодического сигнала. S(jω) также, как и s(t) полностью описывает сигнал. S(jω) и s(t) описывают сигнал в разных системах координат.

Так как S(jω) представляет комплексную функцию частоты, то S(jω) можно представить в алгебраической

и (1.3.5)

экспоненциальной

, (1.3.6)

где

,

S(ω) называется спектральной плотностью амплитуд, а φ(ω) – спектральной плотностью фаз непериодического сигнала.

П ример. Дано: прямоугольный сигнал, изображенный на рис.1.6. Найти: S(jω), S(ω) и φ(ω), построить графики.

Приведенный сигнал в аналитическом виде

=

или

откуда

Графики S(ω) и φ(ω) приведены на рис.1.7.