3.2. Метод подстановки

Метод подстановки применяется для решения ЗНЛП с ограничениями-равенствами:

при условии, что система ограничений этой задачи может быть приведена к виду

. (3.13)

Подстановка выражений (3.13) на место аргументов в целевой функции дает функцию, зависящую только от :

. (3.14)

В итоге исходная задача поиска условного экстремума сводится к задаче поиска безусловного экстремума целевой функции . Решая эту задачу классическим методом, находят экстремальные точки , после чего простыми подстановками в (3.13) получают значения m первых переменных исходной задачи: .

Пример 3.3. Получим решение задачи примера 3.1 методом подстановки. Имеем

Преобразуя систему уравнений-ограничений, приводим ее к виду

Подстановка полученных выражений для и в целевую функцию дает

После проведения упрощающих преобразований получаем ЗНЛП без ограничений

Необходимым условием существования экстремума этой функции одной переменной является условие равенства нулю ее производной в точке экстремума:

Единственная стационарная точка, являющаяся решением данного уравнения, есть . Значение второй производной в стационарной точке больше нуля: , следовательно, эта точка есть точка минимума. Подстановка в систему ограничений дает

3.3. Задачи

Выписать (в произвольной точке) функцию Лагранжа , матрицу Якоби вектор-функции ограничений и окаймленную матрицу Гессе для следующих ЗНЛП:

73.

74.

75.

Методом Лагранжа и методом подстановки найти точки условного экстремума следующих функций:

76. если

77. если

78. если

79. если

80. если

81. если

82. если

83. если

84. если

85.

если

86. если

87. если

88. если

89. если

.

90. если

91. если

92. Найти экстремум квадратичной формы при условии

93. Доказать неравенство если и

Указание. Искать минимум функции при условии

94. Доказать неравенство Гельдера

Указание. Искать минимум функции при условии

Сформулировать следующие задачи в виде задач нелинейного программирования и решить их:

95. Имеется цемент в количестве ; щебень и вода в неограниченном количестве. Требуется построить прямоугольный бассейн наибольшей вместимости. Расход цемента на единицу площади дна и стенок бассейна величина постоянная. Найти длину, высоту и глубину нужного бассейна.

96. Имеется цемент в количестве ; щебень и вода в неограниченном количестве. Требуется построить цилиндрический бассейн наибольшей вместимости. Расход цемента на единицу площади дна и стенок бассейна величина постоянная. Найти высоту и диаметр нужного бассейна.

97. Производственная функция определяется как

,

где значения факторов производства, себестоимости единицы которых равны соответственно, 20, 5 и 10 у.е. Найти максимальное значение выхода готовой продукции при условии, что ее себестоимость будет равна 6000.

98. Гражданин свой совокупный доход в размере 240 руб. тратит на приобретение картофеля и других продуктов питания. Определите оптимальный набор гражданина, если цена картофеля руб. за 1 кг, а стоимость условной единицы других благ – 6 руб. за единицу. Функция полезности гражданина имеет вид

1) 2)

99. Оптимальный набор потребителя составляет 6 ед. блага и 8 ед. блага . Определите цены потребляемых благ, если известно, что доход потребителя равен 240 руб. функция полезности потребителя имеет вид:

1) 2) 3)

100. Рациональный потребитель из всех имеющихся вариантов выбрал набор, состоящий из 20 ед. блага и 25 ед. блага . Функция полезности индивида имеет вид: располагаемый доход равен 100 руб. в месяц. Определите, как изменится доход потребителя, если новый набор содержит 10 ед. блага и 15 ед. блага , уровень цен не менялся.

101. Консервные банки, изготовляемые из жести, имеют цилиндрическую форму. Радиус основания цилиндра банки равен R см, высота банки – H см. Определить, при каких значениях R и H расход жести на изготовление консервных банок емкостью в 1 литр будет

наименьшим.

102. Производственная функция фирмы (производственная функция выражает объем выпускаемой фирмой продукции) имеет следующий вид:

,

где затраты ресурсов. Цена покупки фирмой единицы ресурсов равна 5 и 10 у.е. соответственно. Каков наибольший выпуск при общих издержках ?

103. Производственная функция фирмы имеет следующий вид:

,

где затраты ресурсов. Определить максимальный выпуск и обеспечивающие этот выпуск затраты ресурсов при условии, что .

104. Производственная функция фирмы описывается функцией Кобба-Дугласа:

,

где А=0,75 – технологический коэффициент, x– затраты капитала, y – суммарные затраты ресурсов. Найти значения величин x и y при ценах используемых ресурсов соответственно , чтобы при фиксированном объеме выпускаемой продукции обеспечивался минимум затрат , выражаемых формулой

.

При поиске решения принять ;