3.1.3. Интерпретация множителей Лагранжа

Анализируя значения множителей Лагранжа, можно получить дополнительную ценную информацию. С этим связано широкое распространение метода множителей Лагранжа. Множители Лагранжа измеряют чувствительность оптимального значения к изменениям констант ограничений . Это следует из утверждений следующей теоремы.

Теорема Лагранжа. Пусть решение задачи (3.4)-(3.5), а вектора определяющие строки матрицы Якоби являются линейно независимыми. Тогда существует единственный вектор множителей Лагранжа , удовлетворяющий вместе с системе условий (3.9), причем

. (3.10)

Во многих экономических задачах целевая функция имеет размерность стоимости (цены, умноженной на объем продукции) (прибыль, выручка, издержки), а с помощью ограничений вида (3.5) устанавливаются определенные значения затрат ресурсов. По-сути, в таких задачах множители Лагранжа измеряют чувствительность оптимального значения величины , имеющей размерность стоимости, к изменениям некоторого количества затрачиваемых ресурсов. В результате эти множители имеют размерность цены и по этой причине множители Лагранжа часто называют теневыми ценами (данного вида ресурсов).

Пример 3.1. Производственные издержки S компании определяются формулой

,

где – количества (у.е.) расходуемых ресурсов вида 1, 2 и 3 соответственно. Технология производства такова, что требует выполнения следующих условий:

Требуется решить задачу минимизации издержек S и определить значения обеспечивающие минимальные издержки.

Решение. Исходная задача сводится к следующей ЗНЛП:

Целевая функция и функции ограничений являются дифференцируемыми, поэтому в данном случае применим метод множителей Лагранжа.

Шаг 1. Вводим вектор множителей Лагранжа .

Шаг 2. Определяем функцию Лагранжа

.

Шаг 3. Ищем стационарную точку, решая систему уравнений

Система имеет единственное решение. Соответствующая стационарная точка, подозрительная на экстремум, есть

.

Шаг 4. Определяем тип экстремума в стационарной точке. Для этого нужно исследовать окаймленную матрицу Гессе

.

Матрица Якоби в произвольной точке имеет вид

.

Матрица Гессе функции Лагранжа в произвольной точке:

Таким образом, окаймленная матрица Гессе в произвольной, в том числе и в найденной стационарной точке имеет вид:

В нашем случае . Следовательно, надо проверить главный минор окаймленной матрицы Гессе, начиная с минора порядка то есть определитель полученной окаймленной матрицы Гессе.

Имеем:

Таким образом, знак минора определяются знаком . Следовательно, целевая функция имеет в стационарной точке минимум, причем

.

Теперь можно сформулировать ответ: компания минимизирует свои издержки при условии использовании ресурсов видов 1, 2 и 3 в количестве 62,5; 25 и 12,5 у.е. соответственно.

Пример 3.2. Функция полезности набора из трех товаров в количестве и единиц соответственно, определяется как

.

Требуется найти стоимость наиболее дешевого набора товаров с заданным значением полезности если цены товаров равны соответственно 4, 25 и 20 у.е.

Решение. Требуется решить ЗНЛП

.

Реализуем метод множителей Лагранжа.

Шаг 1. Поскольку имеется всего одно ограничение, то вектор множителей Лагранжа вырождается в скаляр .

Шаг 2. Определяем функцию Лагранжа

Шаг 3. Ищем стационарную точку, решая систему уравнений

(3.11)

Умножая 1-е уравнение (3.11) на , 2-е – на , 3-е – на , получаем, с учетом 4-го уравнения той же системы, эквивалентную систему уравнений

(3.12)

Из 1-го и 3-го уравнений (3.12) имеем ; из 2-го и 3-го – . Подстановка этих выражений в 4-е уравнение (3.12) дает , откуда и далее простыми подстановками в последние соотношения находим искомые значения компонент единственной стационарной точки:

Шаг 4. Для определения типа экстремума функции в точке нужно исследовать окаймленную матрицу Гессе

.

Поскольку матрица Якоби в произвольной точке есть вектор-строка

,

то подстановка значений компонент стационарной точки дает

.

Матрица Гессе функции Лагранжа в произвольной точке:

откуда после подстановки значений компонент стационарной точки

Таким образом, окаймленная матрица Гессе в найденной стационарной точке принимает вид:

В нашем случае . Следовательно, надо проверить главных минора окаймленной матрицы Гессе, начиная с минора порядка

Имеем:

Таким образом, знаки миноров определяются знаком . Следовательно, найденная стационарная точка определяет набор товаров, обладающий полезностью 1000 и минимальной стоимостью в размере у.е. Чувствительность достигнутого значения к изменению полезности набора товаров при этом равна .