1.7. Задача нелинейного программирования и условия существования ее решения

Задача математического программирования

(1.25)

(1.26)

называется задачей нелинейного программирования (ЗНЛП), если целевая функция и (или) функции ограничений и в (1.26) являются нелинейными функциями.

В зависимости от вида целевой функции и системы ограничений (1.26), для решения ЗНЛП применяются различные методы. Перед началом поиска решения задачи желательно знать ответ на принципиальный вопрос о его существовании. Достаточные условия существования решения ЗНЛП с ограничениями даются следующей теоремой.

Теорема Вейерштрасса. Пусть допустимое множество задачи (1.25)-(1.26) является непустым и компактным. Тогда непрерывная целевая функция , определенная на этом множестве, достигает глобального максимума (минимума) на внутренней или граничной точке множества .

На рис. 1.2 показаны различные варианты экстремумов функции на компактном одномерном множестве – отрезке

Рис. 1.2. Графическая иллюстрация условных экстремумов

Условия теоремы Вейерштрасса нетрудно проверить, когда решается ЗНЛП с ограничениями. Если же задача не имеет ограничений, то тогда для ее решения применяют классический метод.

1.8. Задачи

Для указанных ниже функций найти все частные производные первого и второго порядка:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

Для указанных ниже матриц определить, используя критерий Сильвестра, являются ли они положительно или отрицательно определенными:

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

Для указанных ниже функций определить, являются ли они выпуклыми или вогнутыми:

13. . 14. . 15. 16.

17. , если . 18. , если .

19. , если . 20. , если .

21. , если .

22. Найти производную функции в точке по направлению к точке .

23. Найти производную функции в точке по направлению к началу координат.

24. Найти производную функции в начале координат в направлении луча, образующего угол с осью .

25. Найти производную функции в точке по направлению к точке .

Для указанных ниже функций найти их стационарные точки:

26. . 27. .

28. . 29. .

30. . 31. .

32. .

33. .

Найти градиент и матрицу Гессе следующих функций:

34. в точке .

35. в точке .

36. в точке .

37. в точке .

38. в точке .

Разложить по формуле Тейлора следующие функции в заданной точке с точностью до производных второго порядка:

39. в точке .

40. в точке .

41. в точке .

42. в точке .

43. в точке .

44. Найти матрицу Якоби вектор-функции в точке .

45. Найти матрицу Якоби вектор-функции в точке .

46. Найти матрицу Якоби вектор-функции в точке .

47. Найти вектор нормали к гиперплоскости, задаваемой уравнением .

48. Найти вектор нормали к гиперплоскости, задаваемой уравнением .

2. Решение задачи нелинейного программирования без ограничений

Решается задача

(2.1)

Необходимо найти либо все максимумы, либо все минимумы целевой функции , либо и то и другое. Ограничений на аргумент целевой функции нет.