1.4. Производная по направлению. Градиент

Пусть произвольный вектор единичной длины, то есть . Производной функции в точке по направлению называется предел .

По сути это скорость изменения значения функции в точке при перемещении аргумента в направлении вектора .

Градиентом функции в точке называется вектор , компоненты которого равны частным производным первого порядка данной функции в точке

.

Теорема о производной по направлению. Производная функции в точке по направлению может быть найдена по формуле

. (1.14)

Теорема о градиенте. Градиент функции указывает направление наискорейшего роста функции в точке . При этом максимальная скорость роста равна модулю градиента в этой точке:

. (1.15)

Доказательство. Пусть угол между векторами и . Так как скалярное произведение этих векторов может быть найдено по формуле

,

а , то из формулы (1.14) вытекает

.

Последнее означает, что производная по направлению принимает наибольшее значение при , то есть когда векторы и имеют одинаковое направление. Теорема доказана.

Пример 1.2. Найти производную функции в точке по направлению вектора

Решение. Вектор задает единичный вектор того же направления. Имеем

Градиент в произвольной точке равен , поэтому . Подставляя найденные значения компонент и в (1.14), получаем

.

1.5. Касательные гиперплоскости и нормали

Пусть некоторое фиксированное число. Множеством уровня функции называется множество всех точек, удовлетворяющих уравнению .

Пример 1.3. Для функции двух переменных при множеством уровня является эллипс (рис. 1.1)

Рис. 1.1. Нормаль к эллипсу в точке

В плоском (двумерном) случае, когда , множество уровня функции является линией. В трехмерном – поверхностью.

Касательной гиперплоскостью к множеству уровня функции в точке из этого множества называется множество всех точек , удовлетворяющих уравнению

. (1.16)

В плоском случае касательная гиперплоскость является касательной прямой; в трехмерном случае – обычной касательной плоскостью.

Пример 1.4. Касательной гиперплоскостью для функции из предыдущего примера в точке является прямая

, (1.17)

где ; ; (см. рис.1.1).

Вектором нормали (нормалью) к гиперплоскости, задаваемой уравнением

, (1.18)

называется вектор , компоненты которого равны компонентам заданного в (1.18) вектора , то есть . Вектор нормали ортогонален своей гиперплоскости. В плоском и трехмерном случаях ортогональность означает перпендикулярность.

Из уравнения (1.16) следует, что градиент функции является нормалью гиперплоскости к множеству уровня

.

Пример 1.5. Нормалью к касательной прямой (1.17) является (см. рис.1.1) вектор

1.6. Разложение Тейлора

Пусть вектор с целочисленными неотрицательными компонентами. Обозначим через сумму его компонент. Говорят, что функция есть «о малое» по сравнению с при (пишут , если справедливо условие

. (1.19)

Условие (1.19) означает, что пренебрежимо мала по сравнению с при . Если функция ) дифференцируема раз в некоторой окрестности точки , то для всякой точки справедлива формула Тейлора

+

. (1.20)

Величина называется остаточным членом в форме Пеано и означает пренебрежимо малую величину по сравнению с при .

Представление функции по формуле Тейлора (1.20) называется разложением Тейлора этой функции в точке с точностью до производных m-го порядка.

В частности, разложение Тейлора с точностью до производных второго порядка есть

(1.21)

где матрица Гессе функции в точке .

В одномерном случае, когда и функция является функцией одной переменной, формула Тейлора принимает вид

(1.22)

Если функция является аналитической функцией, то есть дифференцируемой в точке бесконечное число раз, то она может быть разложена в степенной ряд (ряд Тейлора):

(1.23)

В одномерном случае, когда , из (1.22) и (1.23) следует

(1.24)

Пример 1.6. Из (1.24) следует, в частности,

;