1.3. Базовые понятия и терминология математического программирования
Множество
называется ограниченным множеством,
если расстояние
между любыми двумя его точками
меньше некоторого числа
:
.
Эпсилон-окрестностью
точки
называется множество точек, отстоящих
от точки
на расстоянии меньшем, чем
:
.
Точка
называется предельной точкой
множества
,
если существует последовательность
принадлежащих
точек
,
сходящаяся к
,
то есть если выполняется условие
. (1.10)
Множество называется замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки.
Множество называется компактным множеством, если оно ограничено и замкнуто.
Точка
называется внутренней точкой
множества
,
если существует
такое, что
.
В противном случае точка
называется граничной точкой множества
.
Точка
называется точкой условного
локального максимума (локального
минимума) функции
в области
,
если существует окрестность
такая, что для любой точки
из этой окрестности значение
не больше (не меньше), чем
:
(
для минимума).
(1.11)
Точка называется точкой условного глобального максимума (глобального минимума) функции в области , если значение не меньше (не больше), чем для любого :
(
для минимума).
Говорят, что функция имеет в точке условный локальный (глобальный) экстремум на множестве , если точка является точкой локального (глобального) максимума или минимума.
Говорят,
что функция
имеет в точке
локальный (глобальный) безусловный
экстремум, если точка
является точкой локального (глобального)
максимума или минимума на всем пространстве
.
Говорят, что функция дифференцируема в точке , если в этой точке существуют все ее частные производные первого порядка
.
Говорят, что функция непрерывно дифференцируема в точке , если все ее частные производные первого порядка непрерывны в этой точке.
Точка , в которой равны нулю все частные производные первого порядка функции , называется стационарной точкой этой функции.
Точка называется седловой точкой (седлом) функции , если она является стационарной точкой, но не является точкой безусловного экстремума.
Говорят, что функция дважды дифференцируема в точке , если в этой точке существуют все ее частные производные второго порядка
.
Замечание 1.1. Значение частной производной второго порядка не зависит от порядка дифференцирования по переменным, то есть
.
Квадратная
матрица
,
элементы которой определяются значениями
частных производных второго порядка
функции
в точке
,
то есть
,
называется матрицей Гессе функции в точке .
Выражение
,
где
– квадратная матрица,
,
называется квадратичной формой матрицы
.
Квадратная матрица называется положительно (неотрицательно) определенной, если справедливо
.
(1.12)
Квадратная матрица называется отрицательно (неположительно) определенной, если справедливо
. (1.13)
Квадратная матрица называется неопределенной матрицей, если она не является ни положительно, ни отрицательно определенной.
Установить тип определенности матрицы Гессе в стационарной точке позволяет следующая теорема.
Теорема об условиях определенности матрицы (критерий Сильвестра). Справедливы следующие утверждения:
1) квадратная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда значения всех ее главных миноров положительны.
2) квадратная
матрица отрицательно определена тогда
и только тогда, когда знак ее k-го
главного минора определяется знаком
.
Пример
1.1. Матрицы
,
определены положительно; матрицы
,
определены отрицательно.
Функция
называется m-мерной
вектор-функцией, если она представляет
собой m-мерный вектор,
компоненты которого суть вещественные
функции, то есть
.
Матрицей
Якоби
m-мерной вектор-функции
называется матрица размера
,
элементы
которой определяются формулами
.
Функция называется выпуклой в области , если
,
.
Функция называется вогнутой в области , если
,
.
Замечание
1.2. Функция
является вогнутой в области
,
если функция
выпукла в этой области.
Свойства выпуклых функций
1. Сумма выпуклых функций является выпуклой функцией.
2. Если
выпукла и
,
то
тоже выпукла.
3. Если
выпукла и
,
то
вогнута.