4.2.1. Необходимость условий Куна-Таккера
Преобразуем
ограничения-неравенства в (4.2) к виду
ограничений-равенств. Для этого к левым
частям каждого
-го
неравенства прибавим неотрицательные
дополнительные переменные
,
подобранные таким образом, что все
ограничения исходной задачи предстают
в виде ограничений-равенств.
Обозначим
Тогда исходная ЗНЛП (4.1)-(4.2) принимает
вид
В развернутой форме она записывается следующим образом:
(4.5)
Полученную ЗНЛП с ограничениями-равенствами можно решить методом Лагранжа. Функция Лагранжа задачи (4.5) есть
,
или, в подробной записи,
. (4.6)
Необходимым условием существования экстремума целевой функции при ограничениях-равенствах является наличие стационарной точки функции Лагранжа. В стационарной точке все производные функции Лагранжа равны нулю, поэтому из (4.6) следует, что стационарной точкой является любое решение системы уравнений
(4.7)
Из
уравнений второй строки системы (4.7)
следует
.
Отсюда, с учетом уравнений третьей
строки системы (4.7) получаем
. (4.8)
Условие (4.8) называется условием дополняющей нежесткости.
Покажем,
что необходимым условием существования
экстремума целевой функции в задаче
(4.1)-(4.2) является условие
,
в задаче максимизации (когда
)
и условие
в задаче минимизации (когда
).
Действительно, по теореме Лагранжа
,
то есть
множители Лагранжа выражают скорость
изменения целевой функции
по отношению к изменениям правой части
ограничений. Поскольку увеличение
правых частей неравенств
способствует лишь увеличению множества
допустимых значений аргумента
,
то это означает, что значение максимума
целевой функции не уменьшится при таком
увеличении, то есть
.
Совершенно аналогично показывается,
что условием существования экстремума
целевой функции в задаче минимизации
является условие
.
Таким образом, объединяя (4.7) и (4.8) с условиями неотрицательности (неположительности) множителей Лагранжа, получаем систему условий существования экстремума функции при ограничениях-неравенствах, которые можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема
Куна-Таккера. Пусть
и
определяют стационарную точку функции
Лагранжа
задачи (4.1)-(4.2).
Тогда справедливы следующие условия (Куна-Таккера):
(4.9)
Замечание 4.2. Из 1-го и 3-го условий Куна-Таккера следует, что либо множитель Лагранжа равен нулю, либо соответствующее ограничение выполняется как точное равенство, либо и то и другое выполняются одновременно.
4.2.2. Достаточность условий Куна-Таккера в задачах выпукло-вогнутого программирования
Условия
Куна-Таккера для задачи (4.1)-(4.2) оказываются
достаточными, если целевая функция
и область ограничений
обладают определенными свойствами,
связанными с выпуклостью и вогнутостью,
и указанными в таб. 4.1.
Таблица 4.1
Тип экстремума |
Целевая функция |
Область ограничений |
максимум |
вогнутая |
выпуклое |
минимум |
выпуклая |
выпуклое |
Нетрудно
показать, что множество
является выпуклым множеством при
условии, что функция
выпукла на
.
Поскольку пересечение выпуклых множеств
является выпуклым множеством, то
достаточным условием выпуклости области
ограничений в задаче (4.1)-(4.2) является
условие выпуклости всех функций
ограничений. В частности, в случае
линейных ограничений допустимое
множество всегда будет выпуклым (а
именно – выпуклым многогранником).
Свойства выпуклости и вогнутости являются настолько значимыми, что порождают два широко распространенных класса задач нелинейного программирования.
Задачей выпуклого программирования называется ЗНЛП
(4.10)
если целевая функция является выпуклой функцией, а область ограничений есть выпуклое множество.
Задачей вогнутого программирования называется ЗНЛП
(4.11)
если целевая функция является вогнутой функцией, а область ограничений есть выпуклое множество.
Следующая теорема позволяет обосновать изложенный ниже метод решения задачи выпукло-вогнутого программирования (метод Куна-Таккера).
Теорема
о единственности экстремума строго
выпуклой (вогнутой) функции. Строго
выпуклая (строго вогнутая) функция
на выпуклом множестве
не может иметь более одной точки
глобального минимума (максимума).