Приклад д3

Дано: m₁ = 2 кг, m₂ = 3 кг, m₃ = 1 кг, R₂ = 0,4 м, r₂ = 0,2 м, = 0,3 м, R₃ = 0,2 м, F = 300 H, М = 15 H·м, блок 3 – суцільний.

Визначити: – кутове прискорення шківа 2.

1. Загальне рівняння динаміки

Рисунок 1

Розв'язування. Ця система має один ступінь вільності. В'язі, накладені на систему, – ідеальні.

Для визначення застосуємо загальне рівняння динаміки:

, (1.1)

де – сума елементарних робіт активних сил; – сума елементарних робіт сил інерції.

На систему діють активні сили і пара сил з моментом М.

Вибравши напрям кутового прискорення , зображуємо на рисунку сили інерції й моменти сил інерції та (рисунок 1), величини яких дорівнюють:

(1.2)

тут моменти інерції мають значення:

(1.3)

Надамо системі можливе переміщення й вирахуємо суму елементарних робіт активних сил:

(1.4)

і суму елементарних робіт сил інерції:

(1.5)

Виразимо всі переміщення через :

(1.6)

а всі прискорення, що входять у рівність (1.2) через :

(1.7)

Підставляючи величини (1.6) у рівність (1.4) і виносячи за дужку, одержимо:

(1.8)

Уведемо позначення:

(1.9)

Тоді

(1.10)

Підставляючи величини (1.2) у рівність (1.5) і враховуючи (1.6) і (1.7), одержимо:

(1.11)

Уведемо позначення:

(1.12)

Тоді рівність (1.11) набуває вигляду

(1.13)

Використовуючи вирази (1.10) і (1.13), складемо рівняння (1.1):

(1.14)

Оскільки , то з рівняння (1.14) одержуємо

, (1.15)

або, ураховуючи (1.9) і (1.12) шукане кутове прискорення запишемо у вигляді:

. (1.16)

Підставивши в (1.16) числові значення всіх величин, знайдемо числову відповідь:

(1.17)

2 . Рівняння лагранжа іі роду

Рисунок 2

Розв'язування. Система має один ступінь вільності. Виберемо як узагальнену координату кут повороту шківа 2 ( ). Уважаючи, що шків обертається проти годинникової стрілки, і відраховуючи в бік руху, складемо рівняння Лагранжа.

. (2.1)

Визначимо кінетичну енергію Т системи, що дорівнює сумі енергій усіх тіл:

. (2.2)

Оскільки вантаж 1 рухається поступально, шків 2 обертається навколо нерухомої осі, а блок 3 рухається плоско-паралельно, то

(2.3)

де  . (2.4)

Усі швидкості, що входять у (2.3), слід виразити через узагальнену швидкість , що дорівнює, очевидно, . Тоді

(2.5)

Таким чином рівність (2.2) з урахуванням (2.3), (2.4) й (2.5) набуває вигляду:

. (2.6)

Ураховуючи позначення (1.12), запишемо остаточно:

. (2.7)

Оскільки Т залежить від узагальненої швидкості й не залежить від узагальненої координати , то

. (2.8)

Для визначення узагальненої сили надамо системі можливе переміщення, під час якого узагальнена координата одержить додатний приріст і покажемо переміщення кожного тіла: для тіла 1 – переміщення , для блока 3 – переміщення його центру мас .

Вирахуємо суму елементарних робіт активних сил:

. (2.9)

Використовуючи залежності (1.6) між можливими переміщеннями, одержимо:

, (2.10)

або, відповідно до позначення (1.9)

Тоді узагальнена сила набуває вигляду

. (2.11)

Підставляючи знайдені величини (2.8) і (2.11) у рівняння (2.1), одержимо

,

звідки

. (2.12)

Таким чином ми знайшли в загальному вигляді той же вираз для , що й під час розв’язування загальним рівнянням динаміки – див. (1.15).

Примітка. Якщо для механічної системи, що розглядається, потрібно було б визначити прискорення вантажу 1, то як узагальнену координату слід було б вибрати переміщення , тоді узагальненою швидкістю системи була б

.

Кінетичну енергію механічної системи в цьому випадку одержали б у вигляді

.

Сума робіт активних сил на можливому переміщенні системи, викликаному приростом узагальненої координати , мала б вигляд:

звідки узагальнена сила

.

Підставляючи в рівняння Лагранжа, одержимо

,

звідки знайдемо

,

що співпадає з кінематичною залежністю (1.7).