1. Рассмотрим движение груза на участке ав. Принимая груз за материальную точку, покажем (рисунок 1) действующие на него силы: , и . Проведем координатные оси yz.
Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось Аy:
;
, (1)
где
,
а
.
Уравнение (1) принимает вид
или
. (2)
Введем для сокращения записей обозначение
, (3)
где при
подсчете принято
.
Тогда уравнение (2) запишем в виде:
. (4)
Интегрируя дважды это уравнение, получим:
;
. (5)
Для
определения постоянных интегрирования
С1
и С2
воспользуемся начальными условиями
задачи: при
.
Подставляя начальные условия в равенства (5), получаем
.
Тогда
;
. (6)
Для
момента времени
,
когда груз будет находиться в точке В,
.
Подставляя эти величины в равенство (6), получим
; (7)
. (8)
Из уравнения (8) определяем время движения груза на участке АВ:
.
Тогда скорость VВ груза в точке В определяем из уравнения (7):
. (9)
2. Рассмотрим движение груза на участке вс. Скорость vв будет на этом участке начальной. На груз действуют силы , и . Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось Вх:
;
. (10)
Интегрируя дважды это уравнение, получим:
;
. (11)
Начальные
условия: при
.
Тогда из уравнений (11) найдем
.
В итоге получаем искомый закон движения груза на участке ВС
,
где х – в метрах, t – в секундах.
Задача д 2
Механическая
система состоит из ступенчатых шкивов
1 и 2, обмотанных нитями, грузов 4 и 5,
прикрепленных к этим нитям, катка (или
подвижного блока) 3. Радиусы ступеней
шкива 1 равны: R1
= 0.2 м,
r1
=
0.1 м,
а шкива 2 – R2 =
0.3 м,
r2
=
0.15 м;
их радиусы инерции относительно осей
вращения равны соответственно
=
0.15 м
и
=
0.2 м.
Тело 3 считать сплошным однородным
цилиндром. Коэффициент трения грузов
о плоскость f
= 0,1.
К одному из тел системы прикреплена
пружина с коэффициентом жесткости с;
деформация пружины в момент начала
движения равна нулю.
К
валу одного из шкивов при пуске в ход
из состояния покоя был приложен созданный
электродвигателем вращающий момент,
зависящий от угла поворота
шкива.
Определить
значение искомой величины в тот момент
времени, когда угол поворота шкива
.
Искомая величина указана в столбце
«Найти» таблицы, где обозначено: V4,
V5,
Vc3
– скорости грузов 4, 5 и центра масс тела
3 соответственно,
и
– угловые скорости тел 1 и 2.
Указания. Задача Д2 – на применение теоремы об изменении кинетической энергии механической системы. Кинетическая энергия Т системы равна сумме энергий всех тел системы, масса которых не равна нулю. Эту энергию нужно выразить через ту скорость, которую в задаче требуется определить.
При
определении работы все перемещения
следует выразить через заданный угол
поворота шкива
.
Все нити являются нерастяжимыми и невесомыми, тела – абсолютно твердыми. Таким образом, рассматриваемые системы являются неизменяемыми. Каток катится без скольжения, участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Когда по данным таблицы масса груза равна нулю, то этот груз на чертеже не изображать, шкивы 1 и 2 всегда входят в систему.
Таблица Д2
Номер условия |
m1, кг |
m2, кг |
m3, кг |
m4, кг |
m5, кг |
С, Н/м |
М=f( ), Н |
Найти |
0 |
5 |
0 |
6 |
0 |
4 |
250 |
40(2+3 ) |
V5 |
1 |
0 |
7 |
5 |
6 |
0 |
310 |
60(3+4 ) |
|
2 |
8 |
0 |
4 |
0 |
5 |
240 |
80(1+2 ) |
Vс3 |
3 |
0 |
4 |
6 |
5 |
0 |
270 |
50(4+ ) |
|
4 |
6 |
0 |
5 |
0 |
4 |
300 |
70(2+4 ) |
Vс3 |
5 |
0 |
5 |
4 |
8 |
0 |
260 |
90(1+3 ) |
V4 |
6 |
8 |
0 |
6 |
0 |
5 |
200 |
30(6+2 ) |
|
7 |
0 |
6 |
5 |
4 |
0 |
310 |
50(4+ ) |
|
8 |
5 |
0 |
4 |
0 |
6 |
280 |
60(3+2 ) |
V5 |
9 |
0 |
4 |
6 |
5 |
0 |
320 |
70(1+3 ) |
V4 |
Рисунок Д2.0
Рисунок Д2.1
Рисунок Д2.2
Рисунок Д2.3
Рисунок Д2.4
Рисунок Д2.5
Рисунок Д2.6
Рисунок Д2.7
Рисунок Д2.8
Рисунок Д2.9
Пример Д 2
Дано:
m1
=
5 кг,
m2
=
0,
m3
=
3 кг,
m4
=
0,
m5
=
8 кг,
f
= 0,1,
R1
= 0.2 м,
r1 = 0.1
м,
R2
=
0.3 м,
r2
=
0.15 м,
=
0.15 м,
=
0.2 м,
с
=
320 Н/м,
М = 30(2+
),
.
Определить: V5.
Рисунок 2
Решение
Для определения скорости V5 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии механической системы:
, (1)
где Т0
и Т
– кинетическая энергия системы в
начальном и конечном положениях;
и
– суммы работ всех действующих внешних
и внутренних сил.
Так как
в начальный момент система находилась
в покое, то Т0
= 0.
Рассматриваемая механическая система
является неизменяемой, значит
и уравнение (1) принимает вид
. (2)
Определим кинетическую энергию системы Т, равную сумме энергий всех тел:
Т = Т1 + Т3 + Т5. (3)
Учитывая, что тело 3 движется плоскопараллельно, тело 5 – поступательно, а тело 1 вращается вокруг неподвижной оси, получим
,
где
;
,
где
; (4)
.
Все входящие сюда скорости выразим через искомую V5:
. (5)
Запишем кинетическую энергию системы с учетом этих зависимостей:
. (6)
Изобразим
все действующие на систему внешние силы
и определим их сумму работ, когда шкив
1 повернется на угол
.
Введем обозначения: S5
– перемещение груза 5,
и
– начальное и конечное удлинение
пружины.
.
(7)
Работа
остальных сил равна нулю, так как точки,
где приложены силы
,
и
– неподвижны, реакция
перпендикулярна перемещению груза 5,
силы
и
приложены в мгновенном центре скоростей
катка, сила
перпендикулярна перемещению центра
масс катка.
;
,
так
как
и
,
то
;
;
.
Все входящие сюда перемещения выразим через заданный угол поворота шкива :
,
– по условию,
,
где Sk
– перемещение точки К (конца пружины).
Таким образом, сумму работ всех сил, приложенных к рассматриваемой системе, запишем в виде:
.
(8)
Подставив выражения (6) и (8) в уравнение (2), будем иметь
(9)
Подставив в это равенство числовые значения заданных величин, найдем искомую скорость V5.
Ответ: V5 = 3,85 м/с.