3.8. Зіставлення скінченних автоматів

Нехай S=(As, Qs, Vs, ss) і Т=(Aт, Qт, Vт, ss) - два автомати. Трійка відображення f: Аs  Aт, g: QsQт, h: VsVт називається гомоморфізмом автомата S в автомат Т, якщо для будь-яких а Аs, qQs, vVs виконані умови

т ( g(q), f(a) ) = gs (q, a) 

т ( g(q), f(a) ) = h s (q, a) 

Автомат Т називається гомоморфним автомату S. Якщо всі три відображення сюр'єктивні, то ця двійка автоматів називається гомоморфізмом S на Т. Якщо, крім того, ці три відображення взаємно однозначні, то вони називаються ізоморфізмом S на Т; автомати, для яких існує ізоморфізм, називаються ізоморфними. Ясно, що потужності відповідних алфавітів ізоморфних автоматів повинні бути однаковими.

Поняття ізоморфізму для автоматів має такий зміст: автомати S і Т ізоморфні, якщо входи, виходи і стани S можна перейменувати так, що таблиця переходів автомата S перетвориться в таблицю переходів автомата Т.

Приклад. Візьмемо автономний автомат S, заданий у табл. 3.10, а як Т-автономний автомат, граф якого наведений на рис. 3.10. Існує гомоморфізм S у Т.

Таблиця 3.10.

Завдання автомата S

q	1 2 3 4 5 6 7 8 9
a	3/0 4/0 4/0 7/0 4/2 5/0 6/1 9/0 9/1

w

w

v v v

v v

Рис. 3.10. Автомат Т

Ніякий стан S не відобразився в r₅; зауважимо, що r₅ неможливо досягти з інших станів. Це - загальне правило: якщо стан Т не входить в область значень g при гомоморфізмі, то воно повинно бути недосяжним для будь-якого стану з цієї області, інакше порушиться умова гомоморфізму. Якщо з автомата Т стан r₅ разом з інцидентним йому ребром видалити, то одержимо новий автомат Т; описана трійка відображень є гомоморфізмом S у Т і S на Т. Як показує цей приклад, кількість станів і вихідних букв при гомоморфізмі може не зберігатися.

3.9. Синхронні мережі з автоматів

Якщо автомати розглядати як пристрої з входами і виходами, то приєднання виходів одних автоматів до входів інших дає схему або мережу з автоматів, всі автомати якої працюють одночасно. Під станом мережі з m одночасно працюючих автоматів S₁, ..., S_m (компонент мережі) розуміється вектор (q_i1, ..., q_im), де q_ij - стан автомата S_j. Тому в загальному випадку кількість можливих станів мережі дорівнює добутку чисел станів її складових компонент. Виникає питання, чи є мережа з автоматів автоматом; якщо так, то як одержати її опис з опису її підавтоматів?

Насамперед необхідно відзначити, що вектор - стан мережі вказує, в яких станах знаходяться компоненти мережі в деякий момент часу. Таким чином, при описі автоматних мереж - на відміну від абстрактних автоматів - необхідно явно вводити поняття часу. Існує два основних способи введення часу - синхронний і асинхронний. Синхронний спосіб полягає в наступному. Уводиться шкала часу, що ділиться на відрізки однакової довжини (такти); межі тактів називаються моментами автоматного часу і нумеруються натуральними числами, починаючи з нуля. Довжина такту приймається за одиницю часу. Вхідне слово (послідовність букв) розглядається як часова послідовність сигналів або імпульсів (кожний сигнал відповідає букві); інтервал між сусідніми імпульсами дорівнює в точності довжині такту. Отже, слово довжини k займає в часі рівно k тактів. Його букви можна вважати функціями від часу: a(t) - буква, що з'явилася на вході в момент t. Автоматні функції  і  реалізуються з затримкою. Час затримки функції  дорівнює одиниці (q(t), a(t))=q(t+1); стан q(0) визначено заздалегідь. Час затримки функції  звичайно вважається рівним нулю: (q(t), a(t))=v(t), але іноді рівним одиниці (q(t), a(t))=v(t+1). В другому випадку повинно бути визначене v(0). Таким чином, під дією послідовності вхідних сигналів однакової довжини кожний з автоматів породжує послідовність проміжних або внутрішніх сигналів (що реалізують стани) і послідовність вихідних сигналів, причому довжини тактів цих послідовностей збігаються з довжиною кожного такту. Даним способом на практиці досягається загальна синхронізація - за рахунок зовнішніх таймерів, що синхронізують, або за рахунок ідеальних часових характеристик і середовища, в яких вони функціонують, на даному рівні розгляду несуттєво.

Перед тим, як говорити про мережі з автоматів загального вигляду, розглянемо деякі основні види з'єднання автоматів.

1. Паралельне з'єднання (рис. 3.11). Розрізняються з'єднання із загальними і роздільними входами (алфавітами).

S₁

S₁

А₁ V₁ V₁

A

S₂

S₂

A₂

V₂ V₂

Рис. 3.11. Паралельне з'єднання автоматів

Для випадку, коли паралельне з'єднання автоматів представлено парою автоматів S₁ = {A₁, Q₁, V₁, ₁, ₁}; S₂ = {A₂, Q₂, V₂, ₂, ₂}, то його можна розглядати як один автомат S = {A, Q, V, , }, що визначається в такий спосіб: A = A₁A₂, Q = Q₁Q₂, V = V₁V₂. Таким чином, вхідний сигнал автомата S - це пара символів: a = (a₁, a₂); стан автомата S - це пара станів: q = (q₁, q₂), де q₁  Q₁, q₂  Q₂. Далі (q, a) = ((q₁, q₂), (a₁, a₂)) = (₁(q₁, a₁), ₂(q₂, a₂)), тобто зміна станів відбувається незалежно й одночасно. Аналогічно (q, a) = =(₁(q₁, a₁), ₂(q₂, a₂)) = (v₁, v₂), де v₁  V₁; v₂  V₂. При цьому автомат S називається прямим добутком автоматів S₁ і S₂.

Для іншого варіанта паралельного з'єднання вхідні алфавіти S1, S2 і S збігаються. Тому (q, a) = (₁(q1, a), ₂(q2, a)).

Послідовне з'єднання автоматів показано на рис. 3.12.

S₁

S₂

A₁ A₂=V₁ V₂

Рис. 3.12. Послідовне з'єднання автоматів

Цю мережу можна описати як автомат S = {A, Q, V, , }, причому A=A1, V=V2, V1=A2 і Q = Q1  Q2. Для визначення  і  істотна затримка функції ₁. Якщо затримка ₁ дорівнює нулю, то

₁(q1(t), a(t)) = V1(t);

q(t+1) = (q1 (t+1), q2(t+1)) =

= (₁(q1(t), a(t)), ₂(q2(t), ₁(q1(t), a(t)))).

Вираз у лівій частині залежить тільки від q(t) і a(t) і, отже, визначає q(t+1) як функцію від цих змінних. Ця функція і є функція  для S.

Якщо ж час затримки ₁ дорівнює одиниці, то одержимо

q(t+1) = (₁(q1(t), a(t)), ₂(q2(t), ₁(q1(t-1), a(t-1)))).

₁(q1(t), a(t)) = V1(t+1);

Таким чином, залежність тільки від попереднього такту не утворюється, і необхідно ускладнювати автоматний опис такої мережі.

Методи одержання єдиного автоматного опису для мереж з автоматів називаються методами композиції автоматів. Ці методи вирішують задачу аналізу мереж, оскільки дослідження поводження мереж зручно проводити при наявності автоматного опису: таблиці переходів або графа переходів.