Вопросы для повторения

1. Каноническое уравнение прямой в пространстве. Направляющий вектор прямой. Векторное истолкование канонического уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой в пространстве.

2. Представление прямой, являющейся линией пересечения двух плоскостей, каноническим уравнением.

3. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

8. Примеры решения Основных задач на прямую и плоскость в пространстве

Пример 8.1. Найти точку пересечения прямой

(8.1)

и плоскости

. (8.2)

Решение. Приравняем выражение (8.1) к параметру t и выразим через него и :

, (8.3)

(8.4)

Подставим и из (8.4) в уравнение плоскости

. (8.5)

Координаты точки пересечения прямой и плоскости получим, подставив значение , найденное из (8.5), в уравнения (8.4):

(8.6)

Пример 8.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую

. (8.7)

Решение. Положение искомой плоскости определяют два вектора: направляющий вектор прямой и вектор

,

точка начала которого принадлежит прямой. Введем в рассмотрение «свободный вектор»

,

конечная точка которого − произвольная точка пространства. Чтобы эта точка принадлежала искомой плоскости, необходимо и достаточно, чтобы три рассматриваемые вектора были компланарны, а их смешанное произведение равнялось нулю. Исходя из этого запишем уравнение искомой плоскости в матричной форме:

. (8.8)

Частным случаем рассмотренной задачи является задача о плоскости, проходящей через две параллельные прямые. В этом случае точка берется со второй прямой

, (8.9)

(8.10)

и ход решения повторяется.

Пример 8.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых параллельно второй.

, (8.11)

(8.12)

Решение. Ориентацию в пространстве искомой плоскости определяют направляющие вектора прямых

.

Введем в рассмотрение «свободный вектор»

,

конечная точка которого − произвольная точка пространства, а начальная точка взята с первой прямой.

Из условия компланарности рассматриваемых векторов запишем уравнение искомой плоскости в матричной форме.

. (8.13)

Пример 8.4. Составить уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых

(8.14)

(8.15)

Решение. Направляющий вектор искомой прямой вычисляем как векторное произведение направляющих векторов заданных прямых

Так как по условиям задачи перпендикулярен и , то

. (8.16)

Из условия компланарности векторов , и свободного вектора , начальная точка которого взята с первой прямой, запишем в матричной форме уравнение плоскости, проходящей через первую прямую параллельно вектору :

. (8.17)

Аналогично, из условия компланарности векторов , и свободного вектора

,

начальная точка которого взята со второй прямой, запишем в матричной форме уравнение плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно вектору :

. (8.18)

Линия пересечения этих плоскостей и есть искомый общий перпендикуляр.

Чтобы получить искомый общий перпендикуляр в каноническом виде, можно найти точку , в которой пересекается вторая прямая с плоскостью (8.17) (способ нахождения этой точки рассмотрен в примере 8.1), и записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором :

. (8.19)

Пример 8.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и пересекающейся с каждой из скрещивающихся прямых

(8.20)

и

. (8.21)

Решение. Через точку и каждую из прямых можно провести плоскость (пример 8.2). Линия пересечения этих плоскостей и есть искомая прямая.

Задачи для самостоятельного решения [2]: № 1039, 1044, 1050, 1052, 1066, 1071, 1072, 1078, 1083.