6.2. Нормальное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости

Рис. 6.3

Рассмотрим плоскость (рис 6.3). Из начала координат проведем нормаль к этой плоскости. Точку пересечения нормали с плоскостью обозначим Р. Величину отрезка ОР обозначим р. Орт нормали обозначим :

.

Чтобы свободная точка принадлежала плоскости , необходимо и достаточно чтобы проекция радиуса-вектора точки М на нормаль равнялась числу р.

. (6.12)

Нормальное уравнение плоскости получим, если в (6.12) перенесем влево от знака равенства число р:

(6.13)

Отклонение точки от плоскости. Пусть число − расстояние от точки до плоскости. Отклонение точки от плоскости , если точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и , если точка и начало координат лежат по одну сторону от плоскости:

. (6.14)

Здесь

. (6.15)

Нормальное уравнение плоскости (6.13)

и общее уравнение плоскости (6.1)

определяют одну и ту же плоскость, следовательно, существует такое число , что

, (6.16)

(6.17)

Из четвертого равенства выражения (6.16) следует, что знак  противоположен знаку D. Число  называется нормирующим множителем. Для получения нормального уравнения плоскости достаточно умножить общее уравнение на нормирующий множитель .

Отклонение точки от плоскости  получим, подставив координаты точки в уравнение (6.14).

6.3. Уравнение пучка плоскостей

Определение 6.1. Множество плоскостей, пересекающихся по одной прямой L, называется пучком плоскостей.

Теорема 6.2. Уравнение

(6.18)

есть уравнение пучка плоскостей, если  и  не обращаются в нуль одновременно, а уравнения

и (6.19)

суть уравнения двух плоскостей, пересекающихся по прямой L.

Любая плоскость, проходящая через прямую L, определяется уравнением (6.19) при некоторых значениях чисел  и .

Доказательство. Преобразуем уравнение к виду

(6.20)

Это – уравнение плоскости, если выражения в скобках не равны нулю одновременно. Предположим противное. Тогда

из следует ,

из следует ,

из следует .

В итоге

. (6.21)

Это – условие параллельности плоскостей (6.19), что противоречит условиям теоремы. Тем самым доказано, что уравнение (6.18) всегда определяет некоторую плоскость.

Покажем, что любая плоскость, принадлежащая пучку определяется уравнением (6.18) при некоторых значениях чисел  и . Фиксируем точку , не принадлежащую прямой L. Точка и прямая L определяют плоскость, принадлежащую пучку, единственным образом.

Подставив координаты точки в уравнение (6.18), получим уравнение относительно неизвестных  и :

.

В этом уравнении выражения в круглых скобках не могут обратиться в нуль одновременно, так как точка не может принадлежать двум различным плоскостям (6.19).

Пусть , тогда

. (6.22)

Из (6.22) значения  и  определяются с точностью до произвольного общего множителя.

Можно представить уравнение пучка плоскостей в другом виде, разделив (6.18) на  и положив :

. (6.23)