1. Системы линейных уравнений. Матрицы и определители

1. Матрицы и определители второго и третьего порядка

Прямоугольная таблица из чисел, содержащая строк и столбцов называется матрицей. Для обозначения матрицы используют круглые скобки или сдвоенные чёрточки. Например,

=А или = В. (1.1)

Возможно также обозначение , где i – номер строки, j – номер столбца матрицы, c_ij – элемент матрицы. Если п = т – матрица квадратная, то п  т – матрица прямоугольная. Квадратная матрица второго порядка имеет вид

. (1.2)

Определитель матрицы второго порядка – это число, равное произведению элементов матрицы, принадлежащих главной диагонали матрицы минус произведение элементов, принадлежащих побочной диагонали.

. (1.3)

Для обозначения определителя используются одинарные чёрточки.

Для того чтобы определитель второго порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы элементы его строк (или столбцов) были пропорциональны.

Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что каждая из пропорций

и эквивалентна . (1.4)

1.2. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Теорема Крамера

Система уравнений имеет вид,

(1.5)

где х и у – неизвестные, а коэффициенты a_ij и свободные члены h₁ и h₂ – заданные числа.

Решением системы является пара чисел , подстановка которых в уравнения системы (1.5) обращает эти уравнения в тождества.

Умножив первое уравнение на а₂₂, а второе на –а₁₂ и сложив полученные выражения, получим

. (1.6)

Аналогично, умножая уравнения системы на и а₁₁ и складывая полученные выражения, будем иметь,

. (1.7)

Введем следующие обозначения:

, , . (1.8)

В новых обозначениях выражения (1.6) и (1.7) будут иметь вид

и . (1.9)

Определитель  принято называть определителем системы. Из соотношений (1.9) просто получаются формулы Крамера

и . (1.10)

Могут представиться два случая: 1) определитель системы отличен от нуля. 2) определитель  равен нулю.

В случае решение системы существует и единственно, так как система уравнений (1.9) является следствием системы (1.5).

Формулы (1.10) позволяют легко найти значения х₀ и у₀.

Рассмотрим случай  = 0. Здесь имеют место два подслучая:

а) хотя бы один из определителей _х или _у отличен от нуля,

б) оба определителя _х и у равны нулю.

В подслучае а) хотя бы одно из равенств (1.10) не имеет смысла, и система (1.9), а вместе с ней и система (1.5) не имеет решений.

В подслучае б) система (1.5) имеет бесконечно много решений.

В самом деле, из равенства заключаем (см. (1.4)) что

. (1.11)

Это означает, что второе уравнение системы (1.5) является следствием первого и может быть отброшено. Но линейное уравнение вида имеет бесконечно много решений, так как, задав значение х, из уравнения можно найти соответствующее значение у, и таких пар чисел существует бесконечно много.

Приведенные выше утверждения составляют содержание теоремы Крамера, которую можно сформулировать так:

Если определитель системы (1.5)  отличен от нуля, то существует и притом единственное решение этой системы, определяемое формулами Крамера (1.10).

Если определитель системы (1.5)  = 0, то система либо вовсе не имеет решений (если хотя бы один из определителей _х или _у отличен от нуля), либо имеет бесконечно много решений (в случае  = _х = _у = 0).

Замечание. В случае, когда h₁ = 0 и h₂ = 0 система называется однородной. Однородная система всегда имеет тривиальное решение . Если определитель системы  отличен от нуля, система имеет только тривиальное решение.

Если же  = 0, то однородная система имеет бесконечно много решений

Таким образом, однородная система уравнений имеет нетривиальные решения в том и только в том случае, если её определитель равен нулю.

Уравнения системы (1.5) являются уравнениями прямых на плоскости. Числа х₀ и у₀, определяемые по формулам Крамера (1.10), при являются координатами точки пересечения этих прямых. В случае однородной системы уравнений точка пересечения прямых совпадает с началом координат ( ).

В случае прямые, описываемые системой (1.5) сливаются в одну, и все точки этой прямой образуют бесконечное множество решений системы. Это утверждение справедливо для однородной и неоднородной систем.

Если же при , или , то прямые, описываемые системой (1.5), параллельны (система не имеет решений). В случае однородной системы это невозможно, так как обе прямые проходят через начало координат.