§3. Оценка случайной погрешности прямых измерений

Как показывает опыт, в подавляющем большинстве случаев результаты измерений при наличии случайных погрешностей распределяются по нормальному закону распределения случайной величины (закону Гаусса).

Оценка случайной погрешности при нормальном законе её распределения проводится стандартным методом в следующем порядке.

1) Определение среднего значения измеряемой величины.

Пусть – результаты измерения некоторой величины x. За истинное значение принимают их среднеарифметическое значение

. (3)

Погрешность, допускаемая при замене истинного значения измеряемой величины ее среднеарифметическим значением, оценивается путем расчета среднеквадратичной и относительной погрешностей и определения доверительной вероятности, или коэффициента надежности результатов измерений.

2) Расчет стандартной среднеквадратичной погрешности измерений с учетом приборной погрешности проводится по формулам

, где ,

когда << , то . (4)

3) Относительная погрешность измерений

. (5)

4) Вероятность того, что результат измерения отличается от истинного значения не более чем на величину , называется доверительной вероятностью α или коэффициентом надёжности. Интервал значений измеряемой величины от – до + называется доверительным интервалом. Доверительная вероятность α показывает, какова вероятность того, что истинное значение измеряемой величины находится в интервале от – до + .

Чем больше доверительная вероятность α, тем больше вероятность того, что истинное значение находится в интервале от – до + . Для большего числа измерений (n>10) внутри доверительного интервала от – до + находится около 68% всех значений измеряемой величины, т.е. доверительная вероятность α составляет ~0.7. Доверительную вероятность α можно увеличить за счет расширения доверительного интервала, например, когда ширина доверительного интервала увеличивается два раза ( 2 ), то , при трехкратном увеличении доверительного интервала ( 3 ), . Последнее значение означает также, что вне промежутка истинное значение измеряемой величины лежит с вероятностью, равной 0.003, т.е. фактически с нулевой вероятностью. Это может служить критерием для опознания промахов. Иными словами, если при измерении некоторой величины x, получены значения x_i, которые отличаются от средней арифметической значения больше чем ,то их смело можно считать промахами.

При малом числе измерений все сказанное, касающееся доверительного интервала и α, остается в силе, только меняются в сторону уменьшения числовые значения α, которые берутся из специальных таблиц. Например, при n=10, доверительная вероятность внутри доверительного интервала от – до + составляет α=0,66, а доверительные вероятности в интервалах 2 и 3 , α=0,92 и 0,99 соответственно. При n=5, доверительная вероятность α равняется 063; 0,88 и 0,96, для доверительных интервалов , 2 и 3 , соответственно.

Чтобы получить такие же вероятности при малых значениях n, надо еще больше увеличивать доверительные интервалы. Например, при n=10, чтобы получить вероятность α=0,7, надо доверительный интервал увеличить на 1,1 , для α=0,95 – доверительный интервал надо брать 2,4 , а для α=0,997 – соответствующий доверительный интервал будет 4 . При n=5, для α=0,7; α=0,95 и α=0,997 доверительные интервалы равны 1,1 , 2,8 и 5,0 соответственно.

1 Недавно появилось сообщение о том, что обрабатывая поверхность цветных металлов лазером, американским ученым удалось увеличить их поглощательную способность почти до А≈1.

2 Строго говоря, черными дырами могут стать физические тела любой массы, если их уменьшить до определенных размеров (до радиуса Шварцшильда).

3 Впервые слово «квант» прозвучало на заседании Немецкого физического общества в докладе Планка 14.12.1900г. Эта дата считается днем рождения квантовой физики.