Пример 4

Решение.

Функция определена на X = .

Если , то , , и , т.е. и непрерывна.

Если , то , , и , т.е. и непрерывна.

Найдем односторонние пределы в точке .

Так как пределы слева и справа конечны, но не равны между собой, то в точке функция имеет разрыв I рода (конечный).

График этой функции представлен ниже.

2. Исследование функций и построение их графиков

2.1. Асимптоты графика функции

1. Прямая является наклонной асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы

При асимптота называется горизонтальной.

2. Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов или равен или .

Пример 5. Найти наклонные асимптоты графика функции

Решение.

, следовательно, при наклонная асимптота отсутствует.

, .

Имеем , значит, ─ горизонтальная асимптота при .

Пример 6. Найти асимптоты графика функции .

Решение.

Следовательно, ─ горизонтальная асимптота при .

При наклонной асимптоты не существует, так как при функция не определена.

Прямая является вертикальная асимптотой, так как

.

Пример 7. Найти асимптоты графика функции .

Решение.

Следовательно, ─ наклонная асимптота.

Прямая является вертикальной асимптотой, так как

.

2.2.Экстремумы функции, интервалы монотонности.

Пусть функция исследуется на некотором промежутке X (конечном или бесконечном).

Если для любых х₁, х₂  X выполняется

, то функция называется возрастающей на X.

Если для любых х₁, х₂  X выполняется

, то функция называется убывающей на X.

Если для любых х₁, х₂  X выполняется

, то функция называется неубывающей на X.

Если для любых х₁, х₂  X выполняется

, то функция называется невозрастающей на X.

Возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие функции называются монотонными функциями на X.

Если функция дифференцируема на промежутке и f (x) > 0 на этом промежутке, то она возрастает на ; если f (x) < 0, то функция убывает. Если во всех точках промежутка , то она постоянна на этом промежутке.

Точка называется точкой максимума функции , если существует окрестность этой точки такая, что

xR(x₀), x≠ x₀ :  f (x) < f (x₀) .

Точка называется точкой минимума функции , если существует окрестность этой точки такая, что

xR(x₀), x≠ x₀ :  f (x) > f (x₀) .

Значения функции в точках ее максимума и минимума называются, соответственно, максимумом и минимумом функции и обозначаются и .

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами или экстремальными значениями этой функции.

Критическими точками функции называются точки, в которых или , или , или не существует, но в двух последних случаях функция должна быть непрерывна в соответствующей точке.

Необходимое условие экстремума.

Для того чтобы была точкой экстремума функции , необходимо, чтобы она была критической точкой этой функции.

Достаточные условия экстремума.

1. Пусть ─ критическая точка функции . Если в некоторой окрестности этой точки при и при , то .

Если в некоторой окрестности этой точки при и при , то .

2. Пусть в некоторой окрестности критической точки функция дважды дифференцируема и производная второго порядка функции в этой окрестности непрерывна.

Если , то ;

если , то ;

если , то требуется дополнительное исследование по производным более высокого порядка.

Пример 8. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции .

Решение.

Производная функции равна нулю в точках и равна в точке .

В точке функция имеет бесконечный разрыв. Значит, критическими точками этой функции являются точки .

Производная второго порядка . – отрицательна, значит, f(0) = max f (x).

В точке производная второго порядка положительна ( ), значит, f (2) = min f(x).

В точке разрыва функции производная первого порядка может изменить знак, поэтому она включается во множество точек, которые разбивают множество определения функции на интервалы монотонности.

Установим, как ведет себя функция в соответствующих интервалах монотонности.

	+	─	─	+
	Возрастает	Убывает	Убывает	Возрастает

Интервалами монотонности функции являются (–, 0); (0, 1); (1, 2); (2, +). При переходе через точки и производная первого порядка меняет знак на противоположный. Таким образом, существование экстремумов функции в этих точках подтвердил и первый достаточный признак.

Пример 9. Найти точки экстремума функции .

Решение.

В точке производная функции не существует, так как при , а при . Сама же функция в точке непрерывна. Эта точка является критической точкой функции. Других критических точек у функции нет. При переходе через точку производная меняет знак с “─” на “+”, значит, в этой точке функция принимает наименьшее значение и f (0) = min f(x). График функции приведен ниже на рисунке.

Пример 10. Найти точки экстремума функции .

Решение.

В точке производная функции не существует. Сама функция в этой точке непрерывна. Значит, эта точка является критической точкой функции. Других критических точек у функции нет. При переходе через точку производная первого порядка меняет знак, так как при x < 0, а при положительных значениях аргумента . Следовательно, является точкой минимума. График функции в окрестности точки изображен ниже.

Пример 11. Найти точки экстремума функции .

Решение.

В точке производная функции равна 0. Других критических точек у функции нет. Производная не принимает отрицательных значений и при переходе через точку знака не меняет. Следовательно, в этой точке достаточное условие экстремума не выполняется, и не является точкой экстремума. Ниже изображен график этой функции.

Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции на замкнутом промежутке достигается или в экстремальных точках, или на концах этого промежутка.