Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Петербургский государственный университет путей сообщения”

_______________________________________________________________________________________________________

Кафедра «Высшая математика»

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИ ПРОИЗВОДНЫХ

Методические указания

для студентов заочного факультета

САНКТ – ПЕТЕРБУРГ

2007

1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

1.1. Непрерывность функции в точке и на множестве

Пусть функция определена в точке x₀ и в некоторой окрестности этой точки.

Функция называется непрерывной в точке x₀, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке, т.е.

. (1)

или .

Введем обозначения:

.

Тогда (1) можно записать в виде:

(2)

Функция непрерывна в точке x₀, если ее односторонние пределы в этой точке равны и совпадают со значением функции в точке x₀.

Функция называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна во всех точках этого множества.

Любая элементарная функция непрерывна на множестве ее определения.

1.2.Точки разрыва функции и их классификация

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x₀, за исключением, быть может, самой этой точки.

Точка x₀ называется точкой разрыва функции , если в этой точке не выполняется хотя бы одно из равенств (2).

Различают точки разрыва I и II рода.

Если оба односторонних предела и конечны, то x₀ называется точкой разрыва I рода. При этом:

1) если , то точка называется точкой конечного разрыва.

2) если же , то точка называется точкой устранимого разрыва.

В остальных случаях точка x₀ называется точкой разрыва II рода. При этом если, по крайней мере, один из односторонних пределов бесконечен, то x₀ называется точкой бесконечного разрыва.

В следующих примерах необходимо найти точки разрыва функции , установить их тип и построить график.

Пример 1.

Решение.

– не элементарная функция, но на каждом из указанных интервалов функции являются элементарными и, следовательно, непрерывными на множестве их определения. Непрерывность функции может нарушаться только в тех точках, в которых происходит смена аналитического выражения функции .

Вычислим односторонние пределы функции в точке

x = -2:

Односторонние пределы , существуют, но условие (2) не выполнено, так как . Следовательно, точка ─ точка разрыва функции. Установим тип разрыва.

Односторонние пределы , конечны, значит ─ точка разрыва I рода. Так как , то ─ точка конечного разрыва.

Аналогично исследуем точку .

Односторонние пределы функции в точке существуют, но условие (2) не выполнено: . Точка ─ точка разрыва функции. Односторонние пределы , конечны. Следовательно, ─ точка разрыва I рода. Так как , то разрыв конечный. Ниже представлен график этой функции.

Пример 2.

Решение.

Функция ─ элементарная. Следовательно, она непрерывна на множестве ее определения X = .

Точка ─ точка разрыва функции. Установим ее тип. Вычислим предел:

Предел конечен. Следовательно, .

Таким образом, точка ─ точка разрыва I рода и, так как, , то разрыв устранимый. Действительно, доопределив функцию в этой точке, т.е. положив , разрыв устраняется, и функция становится непрерывной для всех вещественных . График этой функции изображен ниже.

Пример 3

Решение.

Функция ─ элементарная. Следовательно, она непрерывна на множестве ее определения X = .

Точка ─ точка разрыва функции .

.

Аналогично, .

Так как, односторонние пределы бесконечны, то ─ точка разрыва II рода, и разрыв бесконечный. График этой функции изображен ниже.