20. Построение частного решения линейного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов
Для некоторых
видов неоднородных уравнений (4.1) по
виду правых частей
можно определить вид частного решения
с точностью до неизвестных коэффициентов,
а затем , подставив частное решение в
уравнение (4.1), получить систему для
нахождения этих коэффициентов.
Рассмотрим стандартные виды правых частей и соответствующие им виды частных решений:
1.
,
то есть
многочлен степени n.
1.а. Если число
не является корнем характеристического
уравнения (4.5), то частное решение
уравнения (4.1) ищется в виде
,
где
неизвестные коэффициенты.
1.b Если число
является корнем характеристического
уравнения (4.5) кратности
(
может принимать значения 1 или 2), то
частное решение уравнения (4.1) ищется
в виде
.
2.
,
то есть
произведение
на многочлен.
2.a
Если число
(коэффициент при
в показателе степени у
)
,
не является корнем характеристического уравнения (4.5), то частное решение уравнения (4.1) ищется в виде
.
2.b Если число является корнем характеристического уравнения (4.5) кратности ( может принимать значения 1 или 2), то частное решение уравнения (4.1) ищется в виде
.
3.
.
3.a Если число ( коэффициент при в показателе степени у , коэффициент при у синуса и косинуса) ,
не является корнем характеристического уравнения (4.5), то частное решение уравнения (4.1) ищется в виде
,где
.
3.b Если число
является корнем характеристического
уравнения (4.5) (кратность этого корня
может быть равной только 1 , так как
характеристическое уравнение второй
степени ), то частное решение уравнения
(4.1) ищется в виде
Пример 4.4
Найти решение уравнения
,
удовлетворяющее
начальным условиям
,
.
Характеристическое
уравнение имеет вид
.Отсюда
находим
,
.
Тогда общее решение однородного имеет
вид
.
Правая часть исходного уравнения
является многочленом второй степени.
При этом
не является корнем характеристического
многочлена (случай 1.a).
Поэтому частное решение неоднородного
уравнения ищем в виде
.
Находим производные.
,
.
Подставляя
в исходное уравнение, получим
.
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
в левой и правой частях
равенства, находим
систему для определения
.
Отсюда
,
,
.
Тогда
.
Используя формулу (4.3), получим общее
решение неоднородного уравнения
.
Найдем решение задачи Коши .
.
Удовлетворяя начальным условиям, получим систему для определения и
.
Отсюда
;
.
Подставив найденные
и
в общее решение, окончательно получим решение задачи Коши
.
Пример 4.5
Найти решение уравнения
,
удовлетворяющее
начальным условиям
,
.
Характеристическое
уравнение имеет вид
.Отсюда
находим
,
.
Тогда общее решение однородного имеет
вид
.
Правая часть исходного уравнения
является произведением многочлена
первой степени на
.При
этом
является корнем характеристического
многочлена кратности
(случай
2.b). Поэтому частное
решение неоднородного уравнения ищем
в виде
.
Находим производные.
,
.
Подставляя в исходное уравнение и выполнив элементарные преобразования, получим
.
Поделив обе части
уравнения на
и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
в левой и правой частях
равенства, находим
систему для определения
и
.
Отсюда
,
.
Тогда
.
Используя формулу (4.3), получим общее
решение неоднородного уравнения
.
Найдем решение задачи Коши .
.
Удовлетворяя начальным условиям, получим систему для определения и
.
Отсюда
,
.
Подставив найденные С1
и С2
в общее решение, окончательно получим
решение задачи Коши
.