§3. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные определения
Дифференциальным уравнением nго порядка называется выражение вида
,
(3.1)
где
независимая переменная,
неизвестная функция, зависящая от
,
производные функции
до
го
порядка включительно. Порядком
дифференциального уравнения называется
порядок старшей производной.
Основные определения для уравнений высших порядков рассмотрим на примере уравнений второго порядка.
Уравнение второго порядка имеет вид
.
(3.2)
Определение1. Решением дифференциального уравнения (3.2) называется дважды непрерывно-дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение (3.2) обращает его в тождество.
Рассмотрим следующую задачу найти решение уравнения (3.2), удовлетворяющее условиям:
и
.
(3.3)
Рассмотренная задача называется задачей Коши для уравнения (3.2). Условия (3.3) называются начальными условиями .
Определение2. Решение уравнения (3.2), удовлетворяющее начальным условиям (3.3), называется решением задачи Коши.
Определение3.
Общим решением уравнения (3.2) называется
функция
,
зависящая от независимой переменной
и двух произвольных постоянных
и
,
удовлетворяющая следующим условиям:
1) при любых и эта функция является решением уравнения (3.2);
2)уравнения
и
(3.4)
разрешимы
относительно
и
при любых начальных данных
.
Определение4.Частным решением уравнения (3.2) называется любое решение, полученное из общего при конкретном выборе произвольных постоянных и .
§4.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
,
(4.1)
где
и
заданные числа, а
заданная функция .
Если
,
то есть
,
(4.2)
то уравнение
называется линейным однородным. В
противном случае, то есть если
,
уравнение называется линейным
неоднородным. Введем следующие
обозначения:
общее решение неоднородного уравнения (4.1),
общее решение однородного
уравнения (4.2),
какое-либо
частное решение
неоднородного уравнения (4.1).
Тогда справедлива теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения:
.
(4.3)
10. Построение общего решения линейного однородного уравнения
Рассмотрим однородное уравнение (4.2). Справедлива теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения :
,
(4.4)
где
и
любые линейно независимые решения
однородного уравнения.
Характеристическим уравнением для уравнения (4.2)будем называть следующее алгебраическое уравнение:
.
(4.5)
Его коэффициенты
совпадают с коэффициентами при
в уравнении (4.2).
Уравнение (4.5)
является квадратным уравнением
относительно
и имеет два корня (с учетом кратных и
комплексных). Обозначим его корни через
и
.
Вид функций и , входящих в общее решение, зависит от типа корней характеристического уравнения. Возможны следующие случаи:
1.
и
вещественны и различны,
то есть
,
2.
и
вещественны и равны, то есть
,
3.
и
комплексные корни
,
где
вещественная часть, а
мнимая часть комплексного числа.
Общее решение для каждого случая соответственно имеет вид:
1.
,
2.
,
3.
.
Пример 4.1. Найти общее решение уравнения
.
Характеристическое
уравнение имеет вид
.
Отсюда находим
,
.
Найденные корни вещественны и различны
(случай 1). Тогда получим
.
Пример 4.2 Найти общее решение уравнения
.
Характеристическое
уравнение имеет вид
.
Отсюда находим
(случай
2). Тогда общее решение имеет вид
.
. Пример 4.3 Найти общее решение уравнения
.
Характеристическое
уравнение имеет вид
.
Отсюда находим
.
Корни комплексные.
,
(случай
3). Общее решение имеет вид
.