Вычислив интегралы, находим

.

Заменив в силу произвольности на и выполнив элементарные преобразования, получим

.

Подставив в последнее уравнение по формуле (2.10), находим общий интеграл исходного уравнения

. (2.12)

Найдем решение задачи Коши . Уравнение для нахождения C получаем из условия (2.11), подставив в уравнение (2.12) и ,

.

Отсюда . Подставляя найденное в общее решение (2.12), получим решение задачи Коши в неявной форме, т.е. интеграл задачи Коши

.

40. Линейные уравнения первого порядка . Уравнения Бернулли

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

. (2.13)

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

, (2.14)

где и .

В уравнениях (2.13), (2.14) и  заданные функции , зависящие от .

Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными с помощью стандартной подстановки

, (2.15)

где и  неизвестные функции. Выполнив подстановку (2.15) в уравнение (2.13), получим уравнение

или . (2.16)

При построении общего решения будем предполагать, что функция зависит только от , то есть , а функция зависит от и , то есть .

Уравнение (2.16) содержит две неизвестные функции. Введем дополнительное условие для определения одной из них. Функцию v будем находить из следующего условия

. (2.17)

Тогда уравнение (2.16) примет вид

. (2.18)

Уравнение (2.17) является уравнением с разделяющимися переменными. Найдя из (2.17) функцию и подставив ее в уравнение (2.18) , получим уравнение с разделяющимися переменными относительно функции , из которого найдем . Подставляя затем найденные и в (2.15), получим окончательно общее решение линейного уравнения.

Интегрирование уравнения Бернулли выполняется аналогично с использованием той же подстановки (2.15).При этом также определяется из уравнения (2.17),а для нахождения функции вместо уравнения (2.18) получается следующее уравнение

. (2.19)

Пример 2.3. Найти общее решение уравнения

.

Уравнение является линейным. ; .

Тогда уравнение (2.17) имеет вид

.

Разделяя переменные, получим . Итегрируя,находим или .

Подставляя найденное в (2.18), получаем уравнение для определения

.

Разделяя переменные и интегрируя, находим

.

Используя (2.15), находим общее решение исходного уравнения

.

50 .Уравнения в полных дифференциалах

Рассмотрим уравнение

. (2.20)

Уравнение (2.20) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет собой дифференциал некоторой функции , то есть существует функция такая, что

и . (2.21)

В этом случае общий интеграл уравнения имеет вид

. (2.22)

Для того чтобы уравнение (2.20) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнение условия

. (2.23)

Если условие (2.23) выполняется, то функцию можно определить из условий (2.21). Интегрируя первое соотношение (2.21) по переменной , находим

. (2.24)

где  неизвестная функция , зависящая от . Уравнение для нахождения получается при подстановке по формуле (2.24) во второе условие (2.21).

Пример 2.4 Найти решение уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию .

Сначала найдем общее решение уравнения.

; .

Найдем частные производные

; .

Таким образом, условие (2.23) выполняется, и уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Запишем условия (2.21)

и .

Тогда интегрируя по первое соотношение (при этом играет роль константы), находим

.

Дифференцируя последнее выражение по , получим

.

С другой стороны, из второго условия (2.21)

.

Приравнивая правые части полученных равенств, находим уравнение для определения

или .

Тогда . Полагая и подставляя в выражение для функции , находим

.

Общий интеграл имеет вид

.

Подставляя в последнее уравнение из начального условия и , находим, что . Тогда решение уравнения ,удовлетворяющее начальному условию, имеет вид

.