23

Федеральное агенство железнодорожного транспорта

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Петербургский

государственный университет путей сообщения»

Артамонова Н.Е. , Лапшина Н.В.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Методические указания к выполнению контрольной работы №7 для студентов заочного факультета

СанктПетербург

ПГУПС

2010

§1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные определения

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

, (1.1)

где - независимая переменная,  неизвестная функция, зависящая от ,  производная функции .

Определение1. Решением дифференциального уравнения называется непрерывно-дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение (1.1) обращает его в тождество.

На плоскости каждому решению соответствует кривая, которая называется интегральной кривой.

Рассмотрим следующую задачу  найти решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условию

. (1.2)

Рассмотренная задача называется задачей Коши для уравнения (1.1). Условие (1.2) называется начальным условием .

Определение2. Решение уравнения (1.1), удовлетворяющее начальному условию (1.2), называется решением задачи Коши .

На плоскости решению задачи Коши соответсвует интегральная кривая, проходящая через точку . Будем рассматривать уравнения, для которых решение задачи Коши существует и единственно.

Определение3. Общим решением уравнения (1.1) называется функция , зависящая от независимой переменной и произвольной постоянной , удовлетворяющая следующим условиям:

1) при любом эта функция является решением уравнения (1.1);

2)уравнение

(1.3)

разрешимо относительно при любых начальных данных .

Определение4.Частным решением уравнения (1.1) называется любое решение, полученное из общего при конкретном выборе произвольной постоянной .

Если в определениях 1  4 функции заданы неявно , то они называются соответственно интегралом, интегралом задачи Коши, общим интегралом и частным интегралом. Нахождение решений дифференциальных уравнений называется их интегрированием. Для нахождения решения задачи Коши, т.е. решения уравнения (1.1), удовлетворяющего начальному условию (1.2), достаточно построить общее решение уравнения (1.1), найти из условия (1.2)значение постоянной и подставить найденное значение в общее решение.

Пример1.1. Рассмотрим уравнение и функции , , . Определим, какие из функций являются решениями уравнения. Подставляя каждую функцию в исходное уравнение, получим соответственно три соотношения:

; ; .

Второе соотношение тождеством не является. Следовательно, функция решением не является. Первое соотношение является тождеством, и функция зависит только от и непрерывна вместе с первой производной . Следовательно , функция является решением. Третье соотношение является тождеством относительно для любого и функция зависит и от переменной и от произвольной постоянной . Проверим выполнение второго условия в определении общего решения. Уравнение (1.3) для функции имеет вид . Отсюда находим , что для любых , то есть уравнение (1.3) разрешимо относительно . Таким образом, функция является общим решением.