1.2.5 Теоремы булевой алгебры.

Теоремы булевой алгебры отражают связи, существующие между операциями, выполняемыми над логическими переменными. Сформулируем наиболее важные из них. Так как логические операции подчиняются принципу двойственности, сгруппируем все однотипные теоремы по столбцам.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Выражения 8 носит название теоремы де-Моргана, 9 - теорема поглощения, 12 - теоремы склеивания. Справедливость теорем может быть доказана непосредственной подстановкой.

1.3 Основные характеристики и параметры логических элементов.

Основной статической характеристикой ЛЭ является передаточная характеристика – зависимость выходного напряжения U_вых от напряжения на одном из входов при постоянных напряжениях на остальных входах, равных U⁰ или U¹ в зависимости от типа логического элемента. По виду передаточной функции различают инвертирующие и неинвертирующие ЛЭ. На выходе первых (НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ) получают инверсные сигналы по отношению к входным сигналам, на вторых (И, ИЛИ) – прямые.

Передаточные характеристики инвертирующего и неинвертирующего ЛЭ представлены на рис 1.7, а, б. Они имеют три четко выраженных участка. Участок 1 соответствует состоянию U_вых=U⁰, участок 2 – состоянию U_вых=U¹. Кроме того, имеется участок 3, на котором состояние ЛЭ не определенно. В статическом режиме значения напряжений соответствующие участку 3 недопустимы. Границы участков определяются точками единичного усиления, в которых выполняется условие dU_вых./dU_вх=1. Входные напряжения, определяющие границы участков, называются порогами переключения и . Разность напряжений лог.1 и лог.0 называют логическим перепадом:

(1.4)

Сложные логические функции реализуются с помощью разветвленных цепей, состоящих из ЛЭ. При этом выход одного ЛЭ соединяют со входом другого. Поэтому логический сигнал U⁰ или U¹ с выхода предыдущего ЛЭ поступает на вход последующего. Входные напряжения U⁰ и U¹, задаваемые предыдущими ЛЭ, показаны на осях входных напряжений на рис. 1.3.

Р

а)

б)

ис.1.7 Передаточные характеристики инвертирующего и неинвертирующего ЛЭ

Помимо логических сигналов на входах могут появляться напряжения помехи, которые либо повышают, либо понижают входное напряжение. Если на входе действует напряжение U⁰, то опасны помехи, имеющие положительную полярность, так как они повышают входное напряжение. При достаточно большом напряжении помехи рабочая точка на передаточной характеристике может сместиться в область переключения 3 (рис.1.7), что приведет к сбою в работе и ложному срабатыванию устройства. При поступлении на вход напряжения U¹ и напряжения помехи отрицательной полярности также возможно ложное переключение. Максимально допустимые постоянные напряжения помехи положительной полярности U⁰_п (при напряжении U¹) и отрицательной полярности U¹_п (при напряжении U¹) определяют помехоустойчивость ЛЭ по отношению к статическим помехам. Эти напряжения отмечены на рис.1.7:

(1.5)

(1.6)

Внутренние помехи в цифровом устройстве возникают при переключении ЛЭ, поэтому их амплитуда пропорциональна логическому перепаду U_л. Для оценки помехоустойчивости ЛЭ помимо напряжений U⁰_п и U¹_п используют относительные величины

(1.7)

называемые коэффициентами помехоустойчивости. Из рис.1.7 видно, что , так как .

В тех случаях, когда область переключения 3 не очень широкая, т.е. , можно ввести средний порог переключения

.

Для повышения помехоустойчивости необходимо увеличивать логический перепад и уменьшить «ширину» области переключения 3. Поскольку напряжение не может быть выше напряжения питания , а напряжение ниже нуля, то и . Идеальная передаточная характеристика, соответствующая максимальной помехоустойчивости, должна удовлетворять условиям , ; тогда достигаются одинаковые и максимально возможные значения , .

Большие значения и при том же напряжении питания можно получить только в специальных схемах с обратной связью, для которых передаточная характеристика имеет гистерезис, как показано на рис.1.8.

Для этой характеристики , , где - ширина петли гистерезиса. В предельном случае, когда , достигается максимально возможная помехоустойчивость .

П

Рис.1.8

ри оценке помехоустойчивости по формулам (1.5) и (1.6) следует учитывать, что входящие в них величины U¹, U⁰, U¹_пор, имеют технологический разброс, т.е. различаются даже для однотипных ЛЭ и зависят от температуры, напряжения источника питания, числа нагрузок аналогичных ЛЭ, присоединенных ко входу, и других условий. Поэтому в этих формулах обычно используют наихудшие значения величин: при этом в технических условиях эксплуатации значения U⁰_п и U¹_п . технологический разброс указанных выше напряжений велик для ЛЭ разных микросхем, но он значительно меньше для ЛЭ в составе одной микросхемы.

Соотношения (1.5) и (1.6) определяют как максимально допустимые постоянные напряжения помех, так и амплитуды импульсных помех большой длительности. Если длительность импульса помехи уменьшается настолько, что становиться меньше времени переключения ЛЭ, то допустимая амплитуда импульсной помехи возрастает. Следовательно, импульсная помехоустойчивость может быть выше статической

Входная характеристика – это зависимость входного тока I_вх от напряжения на данном входе при постоянных напряжениях на остальных входах. Для ЛЭ на биполярных транзисторах по этой характеристике определяют входные токи для двух состояний: ток низкого уровня I⁰_вх  0 при U_вх = U⁰ , вытекающий из данного входа, и ток высокого уровня I¹_вх  0 при U_вх = U¹, вытекающий для данного входа. Для элементов на МДП-транзисторах входные токи в обоих состояниях пренебрежимо малы.

Выходная характеристика - это зависимость выходного напряжения U_вых от выходного тока I_вых при заданных постоянных напряжениях на входах. В общем случае таких характеристик может быть две: для напряжения низкого уровня на выходе U⁰_вых= f(I⁰_вых) и для напряжения высокого уровня на выходе U¹_вых= f(I¹_вых), где I⁰_вых и I¹_вых – выходные токи низкого и высокого уровней.

Нагрузочная способность n (коэффициент разветвления на выходе) характеризует максимальное число ЛЭ, аналогичных рассматриваемому, которые одновременно можно подключать к его выходу. Чем выше нагрузочная способность, тем меньшее число ЛЭ необходимо для построения сложной цифровой микросхемы. Однако увеличение нагрузочной способности, ограниченно, поскольку с ростом числа нагрузок ухудшаются другие основные параметры ЛЭ, главным образом статическая помехоустойчивость и быстродействие. Так, помехоустойчивость ЛЭ на биполярных транзисторах уменьшается с ростом числа нагрузок, так как на увеличиваются выходные токи в обоих состояниях, а это приводит к снижению уровня напряжения U¹ и повышению уровня U⁰. Среднее время задержки сигнала возрастает вследствие увеличения емкости нагрузки. По этой причине в состав одной серии микросхем малой и средней степени интеграции и в цифровых БИС вводят ЛЭ с различной нагрузочной способностью: n= 4 … 25.

Коэффициент объединения по входу m равен числу входов ЛЭ. С увеличением коэффициента m расширяются его логические возможности за счет выполнения функций над большим числом логических переменных. При этом для создания сложного устройства требуется меньшее число ЛЭ. Однако увеличения числа входов, как правило, ухудшают другие основные параметры ЛЭ, прежде всего быстродействие. Для построения большинства цифровых микросхем достаточно иметь элементы с числом входов m = 3 … 4. Если требуются схемы с повышенным числом входов, то в серии микросхем вводят специальные ЛЭ – расширители числа входов.

Потребляемая мощность ЛЭ (мощность, потребляемая ЛЭ от источника питания) зависит от его логического состояния, так как изменяется ток I_и.п в цепи питания логический элемент потребляет ток I⁰_и.п при U_вых=U⁰ и ток I¹_и.п при U_вых=U¹.пожтому средняя потребляемая мощность в статическом режиме

(1.8)

Зная среднюю мощность потребляемую ЛЭ в цифровом устройстве N_л.э можно вычислить среднюю мощность, потребляемую устройством она равна P_срN_л.э. уменьшить потребляемую мощность можно, снизив напряжение или ток питания. Однако при этом понизится помехоустойчивость, а для многих ЛЭ и быстродействие. Наиболее эффективный способ уменьшения мощности P_ср реализован на ЛЭ КМДП-транзисторах. В этих элементах токи в статическом режиме пренебрежимо малы, а мощность потребляется только при переключении. Мощность, потребляемую дополнительно в процессе переключения, называют динамической. Она пропорциональна частоте переключения ЛЭ. Потому динамическую мощность определяют при заданной рабочей частоте, близкой к максимальной.

Быстродействие ЛЭ оценивают средним временем задержки распространения сигнала t_зд.р.ср (средней задержкой), определяющим среднее выполнение логической операции:

(1.9)

где t^0.1_зд.р, t^1.0_зд.р – времена задержки распространенья сигнала при переходе напряжения на выходе от U⁰ к U¹ и от U¹ к U⁰ соответственно, измеряемые на уровне U_пор. Произведение средней задержки на максимальное число последовательно соединенных ЛЭ в устройстве дает наибольшую задержку распространения сигнала в этом устройстве.

В ременные диаграмм на входе и выход инвертирующего ЛЭ приведены на рис.1.9. Задержки распространения t^0.1_зд.р, t^1.0_зд.р отсчитываются на этих диаграммах либо по уровню усредненного порога переключения U_пор=0,5(U⁰_пор+U¹_пор), либо по уровню, соответствующему половине логического перепада. Задержки необходимо измерять в условиях, учитывающих работу ЛЭ в цифровых устройствах. Поэтому входной сигнал U_вх(t) формируется аналогичным ЛЭ. А на выходе исследуемого ЛЭ подключают схему-нагрузку.

Рис.1.10

Рис.1.9

При упрощенном анализе переходных процессов в ЛЭ реальный входной сигнал заменяют импульсом прямоугольной формы. Соответствующие временные диаграммы показаны на рис.1.9. времена задержек включения t^0.1_зд.р, выключения t^1.0_зд.р и переходов t^0.1_зд.р, t^1.0_зд.р отсчитывают по уровням 0,1 U_л и 0,9 U_л. Среднюю задержку вычисляют из соотношения t_зд.р.ср=0,5(t^1.0_зд+t^0.1_зд+t^1.0+t^0.1).

Часто приводят среднее время задержки в кольцевом генераторе, представляющем замкнутую в кольцо цепочку нечетного числа k_г инвертирующих ЛЭ. Схема кольцевого генератора, содержащего k_г инверторов, представлена на рис.1.11. если напряжение на входе первого инвертора в некоторый момент времени равноU¹, то при нечетном числе инверторов на выходе последнего элемента с задержкой k_гt_зд.р.ср установиться напряжение

U ⁰ и начнется переключение первого инвертора в противоположное состояние. при этом в кольцевом генераторе возбуждаются колебания с периодом Т_г= 2 k_гt_зд.р.ср. коэффициент 2 в этой формуле обусловлен тем, что для переключения первого инвертора в исходное состояние U_вх=U¹ электрическое колебание по цепочке инверторов должно пройти дважды измеряя период колебаний, можно вычислить среднюю задержку: t_зд.р.ср = Т_г/2 k_г . Для исключения зависимости измеряемой задержки от числа инверторов в цепи последнее выбирают достаточно большим: k_г=9 … 11.

Кольцевые генераторы наиболее широко используются для измерения средней задержки ЛЭ в составе БИС. Эти ЛЭ имеют очень малые емкости нагрузки по сравнению с входной емкостью измерительного прибора, например осциллографа, поэтому непосредственно измерить среднюю задержку одного ЛЭ невозможно. Для уменьшения влияния входной емкости измерительного прибора выходу кольцевого генератора подключают усилитель с малой входной емкостью, изготавливаемый на том же кристалле. При единичной нагрузке каждого инвертора задержка,. Измеренная на кольцевом генераторе, минимальна и служит для оценки предельного быстродействия ЛЭ. Кольцевой генератор удобен также для измерения малых значений средней задержки (менее 1 нс), поскольку период его колебаний в 2 k_г раз больше t_зд.р.ср.

При заданных импульсных параметрах транзисторов среднюю задержку ЛЭ можно уменьшить в определенных пределах, увеличив токи, потребляемые от источника питания, и уменьшив тем самым времена перезарядки паразитных емкостей. Однако при этом возрастает потребляемая мощность. Таким образом, между средней задержкой и потребляемой мощностью ЛЭ существует зависимость: чем меньше средняя задержка, тем больше потребляемая мощность.

В связи с этим для сравнения ЛЭ различных типов используют параметр, называемый работой переключения:

(1.10)

Чем выше качество схемотехнической и конструкторско-технологической реализации ЛЭ, тем меньше работа переключения. Для ЛЭ микросхем малой и средней степени интеграции А_пре=1 … 10 пДж, для логических элементов в БИС и СБИС А_пре=0,01 … 1 пДж.

Большинство основных параметров ЛЭ сильно зависит от напряжения источника питания U_и.п При снижении U_и.п уменьшаются потребляемая мощность и работа переключения, но ухудшаются помехоустойчивость, нагрузочная способность и, как правило, снижается быстродействие. Заданные параметры большинства типов ЛЭ могут быть обеспеченны лишь в сравнительно узком диапазоне отклонения напряжения питания от выбранного номинального значения (5 … 10)%.

Температурные изменения электрических параметров транзисторов, диодов и резисторов, используемых в ЛЭ, обуславливают зависимости их основных параметров от температуры. В связи с этим для микросхем всегда задается рабочий диапазон температур, в котором значения их параметров не выходят за определенные границы.

Важную роль играют конструктивно-технологические параметры и характеристики ЛЭ: площадь, занимаемая ЛЭ на кристалле (при заданном минимальном топологическом размере), и количество основных технологических операций, используемых при изготовлении микросхемы. Площадь ЛЭ наряду с потребляемой мощностью определяет максимально достижимую степень интеграции, и количество основных технологических операций – процент выхода годных микросхем и их стоимость. Для уменьшения площади ЛЭ стремятся упростить их электрическую схему, уменьшить число используемых в ней транзисторов, диодов и резисторов. При проектировании топологии и структуры ЛЭ для снижения его площади уменьшают число карманов, размещая там, где это возможно, несколько транзисторов или резисторов в одном кармане. Используют поликремневые пленочные резисторы, сформированные на поверхности кристалла над транзисторами. Применяют совмещение областей транзисторов; в этом случае одна область кристалла может использоваться для нескольких транзисторов, например как база одного и коллектор другого биполярного транзистора.

Для сопоставления ЛЭ различных типов при заданном уровне технологии,. Характеризуемом минимальным топологическим размером , используют относительную площадь, выражаемую числом квадратов со стороной  (литографических квадратов).

За три десятилетия, прошедших с момента разработки первых цифровых микросхем,, были изобретены и исследованы десятки типов ЛЭ. Их подробный анализ выходит за рамки данного курса. Основная цель поиска новых типов ЛЭ состоит в улучшении тех или иных параметров: уменьшении площади и потребляемой мощности, повышения быстродействия и т.д. важным стимулом к поиску являются новейшие достижения в технологии микросхем, поскольку оптимальные ЛЭ могут быть созданы только при органическом сочетании физических принципов работы, конструкции, технологии и схемотехники.

В настоящее время наиболее актуальны исследования и разработки ЛЭ для БИС и СБИС, проводимые в трех основных направлениях. Первое направление развивается на основе кремниевых МДП-транзисторов и позволяет получать максимальную степень интеграции (число элементов 10⁶ … 10⁷) при достаточно высоком быстродействии (средняя задержка 0,5 … 1 нс). Во втором направлении используются кремневые биполярные транзисторы и обеспечивается повышенное быстродействие (средняя задержка 0,1 … 0,5 нс), но при меньшей степени интеграции (число элементов 10⁴ … 10⁵). Третье направлении позволяет достигать сверхвысокого быстродействия (средняя задержка 50 … 200 пс) при числе элементов 10³ … 10⁴, оно развивается на основе арсенид-галлиевых МЕП-транзисторов.