1.1.3 По виду реализуемой логической функции.

Логические элементы прежде всего классифицируют по выполняемым ими логическим функциям. Они представляют собой операции над логическими переменными, которые обозначают А, В, С и т.д. В алгебре логики различные логические выражения могут принимать только два значения: «истинно» или «ложно». Для обозначения истинности или ложности выражений используют соответственно символы «1» или «0».

Все возможные логические операции любого числа логических переменных можно образовать с помощью трех основных операций: логического отрицания (инверсии, операции НЕ), логического сложения (дизъюнкции, операции ИЛИ), логического умножения (конъюнкции, операции И). Инверсия обозначается знаком «-» над переменной, например В=А. Логическая операция ИЛИ для двух переменных А и В записывается в виде С=А+В и определяется следующей таблицей истинности.

Таблица 1.1

А	В	С=А+В
0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 1

Логическая операция И для двух переменных А и В записывается как С=АВ и представляется таблицей истинности.

Таблица 1.2

А	В	С=АВ
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1

Комбинация логических операций НЕ и ИЛИ приводит к более сложной функции ИЛИ-НЕ которая записывается С=А+В. в этом случае значения, принимаемые логической переменной С, противоположны ее значениям для операции ИЛИ. Сочетание операций НЕ и И дает логическую функцию И-НЕ: С=АВ.

Л огические функции как правило, реализуют одну ли несколько из перечисленных выше функций: НЕ, И, ИЛИ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Условные графические обозначения логических элементов (ЛЭ), выполняющих эти функции представлены на рис 1.2.

Рис 1.2.

Соединяя соответствующим образом эти логические элементы, можно получить микросхему, выполняющую любую более сложную логическую функцию. Для этого достаточно использовать только элементы И-НЕ или ИЛИ-НЕ, поэтому они получили наиболее широкое распространение.

1.1.4. По типу принципиальной электрической схемы базового элемента в серии.

Элементы разделяют на элементы ТТЛ-типа (транзисторно-транзисторная логика), ЭСЛ – типа (эмиттерно-связная логика), И²Л – типа (интегрально-инжекционная логика), на МОП-типа (металл-окисел-полупроводник), и КМОП-типа (комплиментарный МОП).

Все эти элементы наиболее широко используются в цифровых элементах интегральных схем средней, большой и сверхбольшой степени интеграции.

1.2 Математическое описание элементов цифровой техники.

1.2.1 Системы счисления.

Системы счисления подразделяются на два типа: позиционные и непозиционные. В непозиционных системах значение конкретной цифры постоянно и не зависит от её расположения в записи числа. Например, в числе XXXVI значение цифры X не зависит от её местоположения. Оно всегда равно 10.

В позиционной системе счисления значение каждой цифры зависит от ее местоположения в записи числа. Произвольное число Х в позиционной системе счисления с основание q в общем случае можно представить в виде полинома.

X_q = x_n-1q^n-1+ x_n-2q^n-2+ … + x₀q⁰+ x_-1q^-1+ … + x_-mq^-m (1.1)

x - разрядный коэффициент (x=0....q-1); q - весовой коэффициент.

Число q называется основанием системы счисления, оно может быть как целым так и дробным. Количество различных чисел, которое может быть записано в позиционной системы счисления с основанием q при заданном числе разрядов,

N=q^n+m (1.2)

Количество разрядов, необходимое для записи в позиционной С.Сч с основанием q некоторого числа Х, можно определить следующим образом,

n+m  log_q (X_q+1) (1.3)

В цифровой техники нашли применение только П.С.Сч. Для представления числа, записанного в ПССЧ с выбранным основанием q, при помощи электрических сигналов необходимо иметь электронной устройство формирующее на выходе q различных электрических сигналов, которые достаточно легко можно отличить друг от друга. При этом число таких устройств должно равняться числу разрядов целой и дробной части.

Очевидно, что в этом случае чем больше величина q, тем меньше понадобиться устройств. С другой стороны, увеличение q потребует создания сложных блоков, способных формировать на выходе большое число различных электрических сигналов. При использовании в качестве информационного параметра уровня напряжения при фиксированной его максимальной величине, с увеличением q уменьшаться различие между дискретными уровнями выходных сигналов, что усложняет их индентефикацию. Повышается вероятность возникновения ошибок при действии внешних помех и усложняется само устройство.

Критерием выбора q является минимизация аппаратных затрат при обеспечении помехоустойчивости. Наиболее оптимальной при поставленных требованиях является система счисления с основанием e=2.71. Однако технически создать такую систему сложно и нецелесообразно.

Широкое распространение в цифровой технике получила система счисления с основанием q=2 - двоичная система счисления. По определению в такой системе только два числа 0 и 1.

При работе с устройствами вычислительной техники мы сталкиваемся с позиционными системами счисления с основанием 2, 8, 10, 16. Рассмотрим ряд правил, позволяющих выполнять преобразование чисел из одной системы счисления в другую.

Переход от системы счисления с меньшим основанием к системе с большим основанием осуществляется при помощи выражения (1.1), которое справедливо как для целой части, так и дробной.

Пример: 1.1 Преобразовать двоичное число Х2=1011 в десятичное Х10. Согласно выражению(1.1) для q=2 получим

Х₁₀=1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰=11

Переход от системы счисления с большим основанием к системе с меньшим основанием выполняется с соблюдением следующих правил:

а) целая часть исходного числа делиться на основание новой системы счисления;

б) дробная часть исходного числа умножается на основание новой системы счисления.

Пример: 1.2 Преобразовать в двоичную систему счисления десятичное число 25,12

1: Преобразуем целую часть:

25:2=12+1(Х₀=1)

12:2=6+0 (Х₁=0)

6:2=3+0 (Х₂=0)

3:2=1+1 (Х₃=1)

1:2= 0+1 (Х₄=1)

Запись целой части двоичного числа Х₂ производиться с последнего результата деления 25₁₀=11001₂

2: Преобразуем дробную часть:

0,12*2=0+0,24 (Х_-1=0)

0,24*2=0+0,48 (Х_-2=0)

0,48*2=0+0,96 (Х_-3=0)

0,96*2=1+0,92 (Х_-4=1)

0,92*2=1+0,84 (Х_-5=1)

Запись дробной части двоичного числа производиться с первого результата умножения 0,12₁₀₌=0,0001₂