1. Теоретическое введение.

Если прямой упругий стержень обоими концами свободно положить на твердые опоры и нагрузить в середине грузом весом , то середина стержня опустится, т. е. стержень согнется. При таком изгибе верхние слои стержня будут сжиматься, нижние - растягиваться, а некоторый средний слой, который называют нейтральным слоем, сохранит длину и только претерпит искривление.

П еремещение , которое получает середина стержня, называется стрелой прогиба. Стрела прогиба тем больше, чем больше нагрузка, и, кроме того, она зависит от формы и размеров стержня и от его модуля упругости.

Для деформаций растяжения и сжатия модуль упругости называется модулем Юнга и численно равен напряжению (т. е. упругой силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения тела), возникающему в образце при увеличении (уменьшении) его длины в два раза.

Найдем связь между стрелой прогиба и характеристиками упругого стержня. В данной работе используется пластина прямоугольного сечения размерами L (длина), h (высота), b (ширина).

Под воздействием внешней силы пластина искривляется, и ее форма может быть описана функцией (см. рис. 1). Возникающие в пластине силы упругости пропорциональны кривизне пластины, т. е. второй производной . Условие равновесия имеет вид:

[1]

где - модуль Юнга; - коэффициент (геометрический момент инерции прямоугольного сечения пластины, относительно осевой линии), определяемый геометрией пластины; - изгибающий момент сил.

Таким образом, получаем дифференциальное уравнение для формы пластины: , интегрируя которое, находим: .

Константу интегрирования определим из условия равенства нулю наклона пластины в ее центре: , откуда . После второго интегрирования имеем:

[2]

Стрела прогиба по модулю равна смещению середины пластины:

[3]

Подставляя в [3]: , где - масса груза, - ускорение свободного падения, окончательно находим:

[4]

Интервал надежности.

Интервал надежности можно оценить по правилам расчета погрешности косвенного измерения:

[5]

где - коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности p и числа измерений n.

Записываем результат в виде: ; p = ;

2. Выполнение работы.

Приборы и принадлежности:

1. Штатив с кронштейном и часовым механизмом.

2. Исследуемая пластина

3. Груз и добавочные грузы.

4. Штангенциркуль

У становить исследуемую пластину 1 на опоры 2 (см. рис. 2). Установить циферблат часового механизма 3 таким образом, чтобы стрелка показывала на 0.

1. Повесить на скобу 4 гирю 5. По шкале индикатора определить величину прогиба . Повторить измерения 3 раза.

2. Повторить задание п. 1, увеличивая массу с помощью дополнительных грузов. Повторить измерения 3 раза. Всего провести измерения для 3 значений массы.

3. Найти среднее значение величины прогиба соответствующего каждой массе.

4. Измерить штангенциркулем размеры пластины .

5. Вычислить модуль Юнга исследуемого вещества по формуле [4] при каждой массе гири .

6. Найти среднее значение модуля Юнга по формуле: , где - число измерений с разными значениями массы груза . По формуле [5], оценить интервал надежности и записать результат измерений в виде: в последнюю строку таблицы.

Таблица результатов.

Параметры пластины	, мм		, мм		, мм
№ опыта	г	мм		мм
1
2
3
4
5
6
7
8
9
	, p = ;

Контрольные вопросы.

1. Виды деформаций.

2. Нормальное и тангенциальное напряжение. Единицы измерения.

3. Сформулируйте закон Гука.

4. Деформация растяжения. Модуль Юнга. Единицы измерения.

5. Что называют стрелой прогиба?

6. Как в данной работе определяется модуль Юнга? Расчетная формула.

Литература. Курс общей физики под ред. Савельева И. В. т. 1.