
- •Методология исследований при моделировании свойств и качественных характеристик изделия
- •1.1 Словарь основных понятий и определений системного анализа
- •Алгоритм системного анализа технического объекта (изделия)
- •1.4 Суждение как форма экспертного заключения.
- •1.4 Метод расчета точности функционального свойства при анализе технического устройства
- •2 Химические и физические связи реальных тел
- •2.1 Общие сведения о химических связях.
- •2.2 Физико-химические модели структурообразования при кристаллизации и коагуляции синтетических систем.
- •3.1 Отклик на внешнее механическое воздействие
- •1.8 Классификация по физико-механическим и технологическим свойствам
- •4. Деформация реальных твердых тел
- •Общие сведения о твёрдых телах.
- •5. Напряжение и деформация
- •5.1 Теория упругих напряжений
- •5.2 Чистый сдвиг (упругие деформации)
- •5.3 Теория пластичных деформаций
- •4. Упругие материалы
- •4.1. Введение. Определения
- •4.2. Линейные упругие (гуковские) материалы
5. Напряжение и деформация
5.1 Теория упругих напряжений
Одноосное нормальное напряжение. Под влиянием внешних сил в упругих телах возникают деформации, которые зависят от распределения силы. Физические основания для изучения деформации принимаются из экспериментальных данных опытом на растяжение и сжатие.
|
|
|
Прямой
цилиндрический стержень длиною ℓ0
и диаметром d0
нагружен на своих конечных плоскостях
двумя равными, противоположно
направленными, равномерно распределенными
по этим плоскостям силами. В поперечных
сечениях на площади сечения А растягивающая
сила распределяется равномерно; таким
образом возникает растягивающее
напряжение σ = Р/А в направлении оси
стержня. Одновременно начальная длина
ℓ0
возрастает до длины ℓ. Изменение длины
цилиндрического стержня будет равно
ℓ
= ℓ - ℓ0
(абсолютное удлинение). Его отношение
к начальной длине ε = ℓ/ℓ0
называется относительным удлинением.
На рис ( ) представлена диаграмма удлинений и напряжений для общего случая нагрузки. Растягивающее напряжение σ нанесено как функция удлинений ε. Так как поперечное сечение изменяется, то для определения напряжений принимают начальную площадь А0; σ = Р/А0. Линия ОРSBZ есть линия напряжений. Сначала напряжение растет вместе с удлинением. Для многих материалов обе величины пропорциональны до границы пропорциональности Р; тогда ОР линия прямая. На границе удлинений или текучести S напряжение достигает значения σS; здесь начинается течение – удлинение без повышения напряжения (условного).
Напряжение
при этом падает несколько от
(верхняя граница течения) до
(нижняя граница течения). По окончании
течения напряжение поднимается дальше
и достигает у точки В1
наивысшего значения σВ
– временного сопротивления (прочность
при растяжении). Поперечное сечение
стержня значительно уменьшается здесь
(образование шейки); при дальнейшем
растяжении испытывают удлинение только
части стержня вблизи шейки. Напряжения,
отнесенные к основному сечению, падают
– и у точки Z
стержень разрушается.
Если удлиненный на определенную величину стержень разгружается, то деформация исчезает не полностью. Именно удлинение распадается на исчезающую упругую часть ℓ1 и остающееся удлинение ℓ2. При малых нагрузках остающееся удлинение очень незначительно по сравнению с упругим. Напряжение σℓ, до которого остающееся удлинение незначительно, называется пределом упругости.
По постановлению Международного конгресса по испытанию материалов в 1906 г. предел пропорциональности есть напряжение, при котором остающаяся деформация достигает значения 1:100%.
Упругость и эластичность. При научных исследованиях нередко бывает, что обнаруживается сходство между далекими друг от друга явлениями. Сначала оно непонятно и потому кажется случайным. Затем выясняется, что в основе сходства явлений лежит некий фундаментальный принцип или закон природы.
Когда растягивается резиновая лента или слабая металлическая пружина, ощущения отклика на внешнее воздействие очень похожи.
Упругость большинства твердых (кристаллических) тел, в том числе и металлов, имеет совершенно иной характер, чем у полимеров. Растягивающее усилие увеличивает в них средние межатомные расстояния. При снятии нагрузки силы притяжения возвращают атомы в исходное состояние (положение). По закону Гука, закон пропорционального удлинения тела Δl под действием приложенного усилия σ и обратно пропорциональна его модулем упругости E, имеет соотношения:
|
|
Где
– первоначальная длина тела;
σ = f/A – усилие на единицу поверхности сечения (напряжение);
E - модуль упругости первого рода.
Силы
взаимодействия между атомами очень
велики. Поэтому модули упругой деформации
имеют огромную величину. Например, для
стали Е = 20 000 кг/мм2,
для стекла Е = 5000 кг/мм2,
для мягких металлов (олово, свинец Е =
2000…3000 кг/мм2. Это означает, что даже для
небольшой деформации
к наиболее мягким металлам нужно
приложить усилие σ = 200…300 Н/мм2. Для
обратимой деформации, после которой
материал еще восстанавливает первоначальную
форму, значения удлинения и вовсе малы
– несколько десятых или даже сотых
долей процента.
Как не похожи на это свойства резины. Модуль упругости резины Е = 1 Н/мм2, а обратимые деформации 500% и более. Подобные свойства и у других полимеров в высокоэластическом состоянии. Многие полимеры (пластики, органические стекла) при нормальных условиях среды пластичны, но стеклоподобны – они не способны к большим обратимым деформациям. При повышении температуры полимерные пластики переходят в высокоэластическое состояние, становятся каучукоподобными.
Но различие в упругости между металлами и полимерами при изменении температуры идет еще дальше. Модули упругости металлов и вообще кристаллических тел уменьшаются с ростом температуры. Нагревание облегчает их деформацию. На этом свойстве основана горячая обработка металлов: кузнец разогревает заготовку в печи до красна.
А вот модуль упругости полимеров, наоборот, возрастает с ростом температуры. Полимер при нагревании становится менее податливым. Такое странное свойство из всех твердых тел присуще только полимерам.
Например. К толстой полоске растянутой резины прикрепить динамометр, нагревать окружающую среду (электроплиткой). Показания динамометра начнут увеличиваться – напряжение возросло.
Аналогия поведения упругости – твердый полимер и газ.
Проявление упругости газа можно наблюдать при его нагревании. Возьмем грамм-молекулу идеального газа. Уравнение его состояния PV=RT утверждает, что если температура не меняется, произведение давления газа на его объем также постоянно. Проведем мысленно несложный опыт, предложенный В.Э Эскиным [ ]. Пусть газ в вертикальном цилиндре (высота Н. площадь сечения s), закрытом легким поршнем (рис. ). Кладем на поршень груз F, после чего он опустится на отрезок ΔН, слегка сжав газ до давления (Р + F/s). Считая, что температура газа не изменилась, можно написать уравнение состояния газа:
или
|
|
Отношение
F/s
есть сжимающее усилие (напряжение - σ)
в сечении деформируемого тела – газа,
а т.к. ΔН
Н
– изменение высоты объема, то отношение
слева напоминает отношение
.
Сравнив уравнение состояния газа с
законом Гука, видим, что при сжатии газа
роль модуля упругости играет давление
газа Р.
Это
примечательно в двух отношениях.
Во-первых, Р = 1 ат = 0,01 кг/мм2,
значит модуль сжатия газа близок к
модулю упругости резины (
0,1 кг/мм2).
Во-вторых. Давление газа (при постоянном
объеме) пропорционально температуре.
А это означает, что модуль упругости
газа так же, как и резины, растет с ростом
температуры. Чем выше температура. Тем
больше средняя скорость молекул, а
значит, их импульс при ударе о поршень.
Аналогичная ситуация при растягивании
резины. Растягивая макромолекулы, нужно
преодолевать тепловое движение звеньев,
которое свертывает цепи в клубки. Чем
выше температура, тем интенсивнее
движутся части молекулы (звенья,
сегменты), тем большая требуется сила,
чтобы преодолевать противодействие
растяжению. Сходство упругих свойств
полимеров и газов основано на общности
природы их упругости.
Растяжение цепных молекул переводит их в менее вероятную конфигурацию. Сжатому газу также отвечает менее вероятное состояние. Увеличение объема газа всегда связано с возрастанием беспорядка, с большими возможностями размещения молекул. В увеличенном объеме то же самое число молекул можно расположить возросшим числом способов, а это и значит, что вероятность состояния возросла.
Вероятность состояния измеряют в физике особой величиной, называемой энтропией (S). Формула для вычисления энтропии системы (тела) в некотором состоянии
|
|
где С – число способов, которыми данное состояние осуществляется;
k – постоянная Больцмана.
Согласно формуле энтропия растет вместе с С, значит, когда система переходит в состояние с большей вероятностью – это сопровождается возрастанием энтропии
|
|
где V1 и V2 - объем газа до и после расширения.
Так
как
- энтропия газа при расширении
увеличивается.
Упругость тел, связанную с вероятностью состояния, принято называть энтропийной упругостью.
Материал тем эластичнее, чем больше упругое удлинение ℓ1 по сравнению с общим удлинением ℓ. Отношение ℓ1:ℓ служит мерой упругого совершенства (при определенной нагрузке). Для вполне упругого тела
ℓ1 : ℓ = 1 |
|
После перехода предела упругости пластическая часть деформации возрастает все более. После границы текучести деформация становится пластической (пластическая область). У многих материалов отсутствует граница текучести и чистая упругая область постепенно переходит в чисто пластическую. Вязкие материалы – это материалы с пластической областью. Хрупкие материалы или совсем не имеют (вязкости) пластической деформации, или последняя очень мала.
Деформация, в зависимости от материала, требует большего или меньшего времени для своего развития: это – явление так называемого упругого последействия. Деформация и также прочность зависят от времени, в течение которого нагрузка возрастает от нуля до наибольшего значения и зависит от продолжительности действия каждой нагрузки. Особенно сильное упругое последействие обнаруживают железо и цинк.
Деформация и различные пределы (пропорциональности, упругости, временного сопротивления и т.п.) зависят от температуры.
Соответственное
явление происходит при сжатии: вместо
предела текучести имеется предел
расплющивания (предел текучести при
сжатии) с направлением
,
при котором материал без повышения
напряжения течет в различные стороны.
Разрушение происходит при сопротивлении
раздроблению (прочность на сжатие,
временное сопротивление на сжатие)
.
При
повторно переменной нагрузке разрушение
наступает при значительно меньшем
напряжении: прочность при колебательной
нагрузке или предел выносливости
есть то наибольшее напряжение, которое
выдерживает материал при колебательной
нагрузке (знакопеременное сжатие и
растяжение – напряжение с переходом
через нуль). Произвольно большое число
раз. Практический предел выносливости
для известного числа циклов изменения
нагрузки (10∙106,
20∙106
и
т.д.) называется пределом усталости.
Предел прочности при переменной нагрузке
есть то наибольшее напряжение, которое
материал выдерживает произвольное
число раз при изменении его значений
от нуля в одну сторону.
Прочность при колебательной нагрузке значительно меньше, чем прочность при переменной нагрузке. У вязких металлов предел выносливости и предел прочности при переменной нагрузке лежат ниже предела текучести.
В
теории упругих деформациях рассматриваются
только те явления, в которых граница
текучести не достигнута (рис ) участок
кривой от точки О до точки
.
|
|
|
Рис Диаграмма напряженного состояния в координатах напряжения от деформации |
Кроме того, при расчетах принимается, что материал изотропен, т.е. что состояние (упругое и пластическое) по всем направлениям одинаково. Если призматическое тело нагружается в одном направлении центральной силой, которая распределяется равномерно по сечению, то имеем случай одноосного нормального напряжения.
Пусть
осевая сила равна Р, положительная –
растягивающая сила, отрицательная –
сжимающая сила. Нормальное напряжение
в осевом направлении определится σ =
Р/А, где А – площадь поперечного сечения
(плоскость сечения перпендикулярна
действию силы), положительный знак
относится к напряжению растяжения,
отрицательный к напряжению сжатия.
Длина ℓ0
изменяется при этом до ℓ. Абсолютное
удлинение
ℓ
= ℓ
-
ℓ0
положительное при растяжении, отрицательное
при сжатии. Относительное удлинение
равно
. При сжатии относительное удлинение
отрицательно; абсолютное изменение
будет укорочение. Также меняются размеры
поперечного сечения: при удлинении,
происходит уменьшение их, при сжатии
увеличение. Сторона сечения
переходит в
.
Абсолютное поперечное сжатие – удлинение
|
|
относительное поперечное сжатие равно
|
|
При удлинении относительное поперечное сжатие отрицательно, абсолютное сжатие есть уменьшение поперечного размера. Относительное поперечное сжатие (расширение в случае сжатия) есть некоторая дробь осевого удлинения (при сжатии – укорочения):
|
|
|
|
- коэффициент поперечного сжатия
(коэффициент Пуассона).
При
отсутствии поперечного сжатия
= 0; для материалов, у которых объем при
сжатии и растяжении не изменяется,
.
Действительные значения коэффициентов
поперечного сжатия лежат между этими
пределами: для металлов принимается
Данные опыта. Для железа значение 1/μ лежит между 3,3 и 3,5. По Планку 1/μ убывает с температурой (для железа очень медленно) и приближается при температуре плавления к нижнему пределу, равному 2,0, который относится к жидкости σmax = 63 Мпа.
Для того чтобы притти к простым решениям, в сопротивлении материалов обыкновенно принимают, что напряжение пропорционально удлинению. Этот закон пропорциональности (закон Гука) имеет значение в определенных границах для всех важнейших материалов:
σ
= или
ɑ·σ
= где Е – модуль упругости, постоянная характеристика металла МПа.;
= |
|
Найденные на основании этого допущения формулы относятся также к тем материалам, для которых закон пропорциональности не исполняется строго.
Если
между напряжением и деформацией нет
никакой пропорциональности, то Еσ
=
, т.е.
Еσ
есть
производная функция удлинений и
напряжений.
Работа деформации для определенного удлинения равна
|
|
внутри границ пропорциональности
|
|
Работоспособность материалов до разрыва (в единице объема) может быть выражена по площади под кривой на диаграмме деформация - напряжение. Необходимо точное определение масштабных коэффициентов осей диаграммы.
В состоянии растяжения материалов со специфическими свойствами упругости (сталь – это упругий поликристаллический материал) и высокоэластичности (резина – это эластичный полимерный материал) наблюдается большое различие. На рис. ( ) представлены характерные поведения свойств упругости и высокоэластичности в координатах напряжения от деформации.
|
|
Рис. Диаграмма растяжения в координатах напряжения от деформации для стали (левая – упругий материал) и для резины (правая – высокоэластичный материал). Точка А – верхний предел линейного участка зависимости напряжения от деформации; точка В – верхний предел обратимых деформаций; точка С – точка разрыва. |
Сравнивая обе кривые по свойствам можно иметь представления о свойствах:
Величины упругой относительной деформации ( ) для резины намного выше, чем для стали (для резины
, для стали
0,01).
Напряжения σ для стали существенно больше, чем для резины (
для стали и
для каучука).
Характерная величина - модуль Юнга (это линия, определяющая начальный наклон кривой зависимости напряжения от деформации),
Па,
что гораздо больше для стали, чем для каучука (резины).
Для стали, линейность и обратимость теряются почти одновременно, а для резины существует очень широкая область нелинейных обратимых деформаций.
Для стали существует широкая область пластических деформаций (между точками В и С) , которая практически отсутствует для резины.