Тема 5. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения

Функция распределения случайной величины, ее свойства и график. Определение непрерывной случайной величины. Вероятность отдельно взятого значения непрерывной случайной величины. Плотность вероятности, ее свойства и график. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Определение нормального закона распределения; теоретико-вероятностный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров. Функция распределения нормально распределенной случайной величины и ее выражение через функцию Лапласа. Формулы для определения вероятности: а) попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал; б) отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм». Понятие о центральной предельной теореме (теореме Ляпунова). ([1], § 3.5—6.5).

Функция распределения случайной величины – одно из фундаментальных понятий теории вероятностей, поскольку является универсальным описанием любой случайной величины. Функция распределения F(x) представляет вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е. F(x) = Р(Х < х). Необходимо знать свойства функции распределения F(x) и ее производной — плотности вероятности случайной величины и уметь их изображать графически. Из непрерывных случайных величин особо важное значение имеет нормальный закон распределения. Необходимо знать теоретико-вероятностный смысл его параметров, выражение функции распределения F_N(x) через функцию Лапласа Ф(х), свойства нормально распределенной случайной величины, правило «трех сигм». Важно четко представлять, что нормальный закон, в отличие от других, является предельным законом, к которому при некоторых весьма часто встречающихся условиях приводит совокупное действие (сумма) п независимых случайных величин X₁, X₂,…, X_n при .

Тема 6. Двумерные (n-мерные) случайные величины

Понятие двумерной (п-мерной) случайной величины. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения. Ковариация и коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции. Двумерное нормальное распределение. Условные математическое ожидание и дисперсия. ([1], § 5.1, 5.6, 5.7).

В этой теме обобщается понятие случайной величины, вводится понятие многомерной (n-мерной) случайной величины, условных распределений и их числовых характеристик. Так как математические ожидания и дисперсии случайных величин Х и У недостаточно полно характеризуют двумерную случайную величину (X, Y), рассматриваются ковариация и коэффициент корреляции случайных величин, которые позволяют выявить степень зависимости между Х и Y. Завершается тема понятием двумерного нормального закона распределения. Следует обратить внимание на то, что в случае двумерного нормального закона зависимости условных математических ожиданий М_x(Y) (или M_y(x)) от х (или у), т. е. нормальные регрессии Y по Х (или Х по Y), всегда линейны, а условные дисперсии D_x(Y) (или D_y(X)) постоянны и не зависят от значений х (или у).