Лабораторная работа №3 «Двойственная задача».

Цель: изучение принципа построения двойственной задачи и практическое применение методик ее решения.

С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной; первоначальная задача называется исходной или прямой.

Связь исходной и двойственной задач заключается, в частности, в том, что решение одной из них может быть получено .непосредственно из решения другой.

Хорошо разработанный математический аппарат линейного программирования позволяет не только получать с помощью эффективных вычислительных процедур оптимальный план, но и делать ряд экономически содержательных выводов, основанных на свойствах задачи, двойственной к исходной задачи линейного программирования.

Каждая из задач двойственной пары фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо от другой. Однако при определении симплексным методом оптимального плана одной из задач находится решение и другой задачи.

Для решения двойственной задачи студент должен:

• изучить теоретический материал;

• составить математическую модель исходной задачи;

• составить математическую модель двойственной задачи по отношению к исходной;

• найти решение (оптимальный план) двойственной задачи, используя симплекс-метод;

• проанализировать полученное решение, проверив его правильность на ЭВМ;

• оформить решение задачи в виде отчета по лабораторным работам.

Постановка и методика решения подобных задач рассмотрена в образце оформления отчета лабораторной работы №3 (стр. 35).

Задание: составить двойственную задачу к исходной и решить ее симплекс-методом.

В качестве исходной задачи принимается задача из Лабораторной работы №2 согласно своему варианту.

Образец оформления отчета лабораторной работы №3 «Двойственная задача».

Задание: составить двойственную задачу к исходной и решить ее симплекс-методом.

Задача.

Предприятие изготавливает и реализует два вида продукции – P₁ и P₂. Для производства продукции используются два вида ресурсов – сырье и труд. Максимальные запасы этих ресурсов в сутки составляют 14 и 26 единиц соответственно. Расход ресурсов на изготовление каждого вида продукции, запасы и оптовые цены продукции приведены в таблице.

Ресурсы	Расходы ресурсов на 1 ед. продукции		Запас ресурсов, ед.
	P1	P2
Сырье	1	3	14
Труд	4	2	26
Оптовая цена	3	3

Известно, что суточный спрос на продукцию P₁, никогда не превышает спроса на продукцию P₂ более чем на 5 ед., а спрос на продукцию P₂ никогда не превышает 4 ед. в сутки.

Как спланировать выпуск продукции предприятия, чтобы доход от ее реализации был максимальным?

Решение.

Составим математическую модель прямой задачи. Предположим, что предприятию следует изготовить Х₁ ед. продукции P₁ и Х₂ ед. продукции P₂. Поскольку имеются нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида продукции и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида, а также величина суточного спроса на реализуемую продукцию, то должна выполняться следующая система ограничений:

Общая прибыль от реализации произведенной продукции составит:

По своему экономическому содержанию переменные Х₁ и Х₂ могут принимать только лишь неотрицательные значения:

Теперь составим по отношению к этой прямой задачи двойственную ей задачу.

1. Число переменных в двойственной задаче равно числу неравенств в системе ограничений прямой задачи, т.е. равно четырем:

2. Коэффициентами в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены системы ограничений прямой задачи, т.е. 14, 26, 5 и 4. Целевая функция исходной задачи задана на максимум, поэтому в двойственной задаче целевая функция задается на минимум:

3. Матрица ограничений двойственной задачи получаем путем транспонирования матрицы ограничений прямой задачи:

4. Коэффициенты целевой функции прямой задачи становятся свободными членами ограничений двойственной задачи, т.е. 3 и 3.

Таким образом, двойственной по отношению к исходной прямой задачи является следующая задача.

Требуется найти неотрицательные числа , обращающие в минимум целевую функцию

,

при условиях:

Перейдем от задачи на минимум к задаче на максимум:

при условиях

Запишем полученную задачу в канонической форме, введя дополнительные переменные Y₅ и Y₆:

Так как среди свободных членов системы уравнений содержатся отрицательные числа, то для решения данной задачи линейного программирования воспользуемся двойственным симплекс-методом. Все итерации вычислительного процесса последовательно запишем одна за другой в виде симплексной таблицы.

i	Базис	Cj	bi	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Оценка
1	Y5	0	-3	-1	-4	-1	0	1	0	3	---> max
2	Y6	0	-3	-3	-2	1	-1	0	1	3
0	G'	-	0	14	26	5	4	0	0
				14	6,5	5
						min
i	Базис	Cj	bi	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Оценка
1	Y3	-5	3	1	4	1	0	-1	0
2	Y6	0	-6	-4	-6	0	-1	1	1	6	---> max
0	G'	-	-15	9	6	0	4	5	0
				2,25	1		4
					min
i	Базис	Cj	bi	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Оценка
1	Y3	-5	-1	-1,667	0	1	-0,667	-0,333	0,6667	1	---> max
2	Y2	-26	1	0,6667	1	0	0,1667	-0,167	-0,167
0	G'	-	-21	5	0	0	3	6	1
				3			4,5	18
				min
i	Базис	Cj	bi	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6
1	Y1	-14	0,6	1	0	-0,6	0,4	0,2	-0,4
2	Y2	-26	0,6	0	1	0,4	-0,1	-0,3	0,1
0	G'	-	-24	0	0	3	1	5	3

Вернемся к двойственной задаче на минимум: