5. Некоторые соотношения векторного анализа

5.1. Оператор Гамильтона. В векторном анализе широко используется так называемый оператор Гамильтона «набла»

(5.2)

Это символическое обозначение дифференциальной операции, которую можно произвести как над скалярной, так и над векторной функцией. В первом случае имеем:

т. е.

(5.3)

Что касается действия на вектор, то здесь существенна векторная структура самого оператора, позволяющая понимать это действие двояко. Во-первых, очевидно, можно строить по формальному правилу составления скалярного произведения двух векторов (1.4), принимая операторы дифференцирования д/дх, д/ду и д/дz за компоненты вектора. Это дает:

Как видно,

. (5.4)

Но можно рассматривать и «векторное произведение» оператора на вектор :

что даёт ротор вектора:

. (5.5)

Оператор Гамильтона является, таким образом, удобным средством представления операций векторного анализа. При выполнении различных действий его следует понимать как вектороподобный комплекс обычных дифференциальных операторов д/дх, д/ду и д/дz. Однако, обращаясь с формально как с вектором, надо помнить, что не имеет смысла дописывание этого оператора справа (например, или ), поскольку бессмысленны выражения типа в отличие от .

Пользуясь формулами (3.7) и (2.5), нетрудно образовать дивергенцию градиента некоторой скалярной функции:

(5.6)

Запишем это с использованием оператора Гамильтона:

(5.6а)

Оператор (его обозначают также Δ) называется оператором Лапласа. Это один из важнейших операторов математической физики. Он применяется и к векторным функциям, при этом

. (5.7)

5.2. Тождества векторного анализа. В § 4 п. 3 были получены два важных тождества векторного анализа (4.4) и (4.5), т. е. равенства, справедливые для любых функций, к которым их применение осмысленно (в данном случае требуется существование частных производных второго порядка) и компонент . Запишем ещё некоторые тождества, часто применяемые в теории электромагнетизма.

Следующие четыре тождества векторного анализа имеют значение правил дифференцирования произведения функций:

, (5.8)

, (5.9)

(5.10)

. (5.11)

Вывод их весьма прост с использованием векторного дифференциального оператора «набла». При этом необходимо использовать обычные правила дифференцирования произведения. Например,

Здесь индексы операторов «набла» условно показывают, на который из двух сомножителей они действуют. В последующем эти индексы опущены за ненадобностью.

Ещё одно часто используемое тождество имеет вид:

(5.12)

Его можно получить, в частности, из формулы (1.9) при помощи оператора Гамильтона, соблюдая правила применения последнего. Перепишем сначала (1.9) в виде:

(существен порядок сомножителей скалярных произведений). Полагая теперь , имеем:

,

что совпадает с (5.12), если учесть (5.3) и (5.4).

С помощью оператора Гамильтона легко доказываются также другие полученные ранее тождества (4.4), (4.5):

Последнее равенство можно трактовать физически так: «вихрь не растекается».

5.3. Теорема Грина. Вернёмся к рассмотренной ранее теореме Остроградского-Гаусса. Положив и учитывая, что согласно (5.9)

,

имеем из (3.8):

(5.13)

Здесь применён оператор Гамильтона и учтено, что Полученный результат выражает теорему Грина; равенство (5.13) называют также первой формулой Грина.

Получим, далее, вторую формулу Грина. Для этого надо сначала переписать первую формулу Грина, поменяв в ней местами функции ψ и φ, а затем вычесть новое равенство из первоначального. В результате находим:

Поскольку полученные соотношения есть следствия теоремы Остроградского-Гаусса, то о границах применимости обеих формул Грина можно повторить всё сказанное выше в п. 1. В частности, векторные функции и должны быть однозначными; в противном случае требуется преобразование области интегрирования.