Глава 4. Решения волновых уравнений

Ниже рассматривается ряд вопросов, связанных с математическим аппаратом, применяемым в гл. 4 книги [1]. До этого подробно обсуждались только свободные поля - волны без источников. Теория излучения и дифракции - это анализ полей вынужденных и, соответственно, условий возбуждения волн. Поэтому в дополнение к тому, что уже известно из п. 13 о решениях однородных уравнений - волнового уравнения (7.11) и уравнения Гельмгольца (7.6), теперь надо будет познакомиться с интегрированием уравнений неоднородных - уравнения Гельмгольца (7.10) и уравнения Даламбера (7.12). Собирательно будем называть все эти уравнения волновыми.

Другая тема данной главы - получение решений однородного уравнения Гельмгольца методом разделения переменных в декартовых, цилиндрических, а также сферических координатах. При подготовке этого материала сообщаются сведения о некоторых специальных функциях, главным образом, о функциях цилиндрических. Указанные функции используются в курсе электродинамики при изучении распространения электромагнитных волн в различных направляющих системах.

15. Интегрирование неоднородного уравнения Гельмгольца и уравнения Даламбера

15.1. Функция Грина для уравнения Гельмгольца. Начнём с записи уравнения Даламбера в виде

_(15.1)

В простейшем и в то же время весьма важном случае функция , которая выражает «вынуждающую силу», имеет характер гармонических колебаний: . Вид гармонических колебаний имеет при этом и решение: Используя метод комплексных амплитуд, т. е. внося в (15.1) и получаем неоднородное уравнение Гельмгольца относительно :

, (15.2)

где . Подобная операция уже обсуждалась в п. 12.2. В электродинамике встречаются уравнения Гельмгольца с комплексным k; подчеркивая это введением символа и ограничиваясь пока скалярной формой, запишем:

(15.2а)

Решение неоднородного уравнения Гельмгольца будем искать тем же методом, который был применен в п. 9 к уравнению Пуассона (9.1). При этом понадобится функция Грина, т. е. в данном случае решение уравнения

(15.3)

Интересующая нас функция Грина имеет вид:

(15.4)

Прежде чем двигаться дальше, проверим, что формула (15.4), действительно, выражает решение уравнения (15.3). Для этого достаточно убедиться, что является дельта-функцией, согласно её определению (8.6), (8.7). Непосредственное дифференцирование показывает, что

(15.5)

Далее, возьмём объем V, содержащий начало координат, и выделим сферу ΔV с центром в нём (т. е. при r = 0), имеющую радиус ρ. Ввиду (15.5)

причём в силу теоремы Остроградского-Гаусса

где ΔS - поверхность сферы ΔV (r = ρ на ΔS). При ρ → 0 второе слагаемое исчезает (ΔV = 0(ρ³)), а первое даёт:

Таким образом,

(15.6)

Исследуемая функция, как видно, является дельта-функцией δ(r), а при замене r → | _| становится дельта-функцией δ( ). Поэтому формула (15.4) подтверждена. Здесь же отметим, что, как и в п. 9.1,

, (15.7)

т. е. функция Грина симметрична относительно обоих аргументов.

15.2. Выражение решения неоднородного уравнения Гельмгольца.

Будем искать общий вид решения неоднородного уравнения Гельмгольца (15.2). С этой целью выполним в (16.2) умножение на , а в (15.3) - на и_т ; произведём вычитание левых и правых частей и интегрирование полученных выражений как функций r по V. В результате получим:

Выполним, далее, следующие преобразования (ср. п 9.2):

а) объёмный интеграл слева заменим поверхностным при помощи теоремы Грина (5.14);

б) во втором слагаемом справа произведем интегрирование по формуле (8.7), что даёт ;

в) произведём замену обозначений . Ввиду (15.7) это не распространяется на функцию Грина.

В итоге находим общий вид решения уравнения (15.2) в следующей форме:

(15.8)

(обозначения здесь те же, что и в п. 9.2; заметим, что равенства (15.8) и (9.6) идентичны по форме).

Внося в (15.8) выражение функции Грина (15.4), получаем:

(15.9)

Собственно говоря, как видно из (15.8) и (15.9), для нахождения решения в некоторой области V надо располагать сведениями о его поведении на внешней границе S: в поверхностный интеграл входят функции и

Для дальнейшего наиболее интересен случай, когда решение уравнения ищется во всем безграничном пространстве, в то время как вынуждающая сила отлична от нуля только в некоторой ограниченной области. Граница S области V при этом относится в бесконечность. Пусть рассматриваемые решения обладают таким свойством, что поверхностный интеграл в (15.9) исчезает (необходимые уточнения будут сделаны в п. 4). Тогда решение выражается следующей весьма важной формулой:

. (15.10)

Интегрирование здесь фактически распространяется только на область, в которой .

Разумеется, все полученные результаты сохраняют формальный смысл и при комплексном k; заменив k на сразу же из (15.10) получаем решение уравнения (15.2а). Наконец, взяв векторное уравнение Гельмгольца

(15.11)

и рассматривая отдельно его проекции на оси декартовой системы координат (как это делалось в п.9.4 с векторным уравнением Пуассона), находим при помощи (15.10) его решение в виде:

. (15.12)

15.3. Выражение решения уравнения Даламбера. Перейдём к уравнению Даламбера (16.1). При произвольной зависимости от времени решение и вынуждающую силу можно представить в виде интегралов Фурье (12.25):

(15.13)

Умножим все члены уравнения (15.1) на и проинтегрируем по t в пределах от -∞ до ∞. Ввиду (12.26),

(15.14)

и

(15.15)

Что касается второго члена (15.1), содержащего дифференцирование по t, то соответствующий интеграл придется преобразовать путём двукратного интегрирования по частям:

Полагая, что при t = ± ∞ решение и его производная по времени равны нулю и обозначая по-прежнему k = ω/υ, находим:

(15.16)

И, наконец, сопоставляя (15.14) - (15.16), на основании (15.1) получаем относительно спектральной плотности следующее неоднородное уравнение Гельмгольца:

, (15.17)

по форме совпадающее с (15.2).

Решение уравнения (15.17), таким образом, можно сразу же написать на основании формулы (15.10):

, (15.18)

Чтобы построить решение уравнения Даламбера (15.1), составим первый из интегралов Фурье (15.13). Умножая левую и правую части (15.18) на е^jωt и интегрируя по ω от -∞ до ∞, имеем:

Учитывая, что

пишем:

Действительно, это прямое следствие второй формулы (15.13), где t заменено на . Итак, окончательно:

. (15.19)

Решение уравнения Даламбера получено. Попробуем истолковать его и привлечём для этой цели решение (9.8) уравнения Пуассона (9.1); а также однородное волновое уравнение (7.11), различные решения которого рассматривались в п. 13. Там было показано, что υ имеет смысл фазовой скоро­сти распространяющейся волны. Предположим, что υ  ∞.

Мгновенное распространение фактически, означает исчезновение волнового процесса, и действительно, уравнение Даламбера (15.1) при этом переходит в уравнение Пуассона (9.1), а решение (15.19) - в (9.8).

Решение (15.19) выражает волновой процесс, возбуждаемый в пространстве источниками, расположенными в той области, где f  0. Действие источника в точке Р(r') не передаётся в точку наблюдения М(r) мгновенно, оно запаздывает на время необходимое для распространения волнового процесса; это и отражает полученное решение (15.19).

Результат (15.19) позволяет записать также решение векторного уравнения Даламбера:

, (15.20)

поскольку при проецировании на оси декартовой системы координат оно сводится к трём скалярным (ср. п. 9.4):

(15.21)

15.4. Расходящиеся и сходящиеся волны. Условие излучения. Вернёмся к полученным в п. 2 решениям уравнений Гельмгольца (15.10) и (15.12). Мы должны внимательно проследить условия, при которых эти решения были получены. Во-первых, рассмотрим поверхностный интеграл в (15.9), который должен уничтожаться.

Зафиксировав точку , в которой исследуется решение (15.9), будем относить границу S объема V в бесконечность, представляя её себе как сферическую поверхность радиуса r' (рис. 9.1). При этом v' = r', и подынтегральное выражение поверхностного интервала в (15.9) принимает вид:

а поскольку при r'  ∞ исчезает разница между и r', то в пределе оно оказывается следующим:

.

Учитывая, что S = 4π(r^/)², приходим к выводу, что поверхностный интеграл в (15.9) при отнесении границы в бесконечность исчезнет, если

= 0.

Отбрасывая несущественный общий множитель и член бесконечно малого порядка в скобках, а также изменяя обозначение аргумента (r'  r), получаем следующее условие

, (15.22)

которому должны удовлетворять решения определяемые по формуле (15.10). Это так называемое условие излучения.

Легко убедиться, что условию излучения удовлетворяют лишь решения, имеющие при г  ∞ вид расходящихся сферических волн:

при r  ∞ (15.23)

(п.13.3); сходящиеся же волны (с экспоненциальным множителем вида e^ikr ) автоматически отбрасываются.

Взяв, далее, уравнение (15.2а) с комплексным , без труда убедимся, что условие излучения (15.22), в котором теперь надо взять = k' - ik^'', будет удовлетворено, если при r  ∞ решение имеет характер расходящейся затухающей волны (в (15.23) берётся , для которого k' > 0 и k">0).

Все рассмотрение немедленно обобщается и на случай векторного уравнения Гельмгольца (15.11) с его решением (15.12); поскольку условие (15.22) налагается на скалярные декартовы компоненты функции то должно быть:

(15.24)

или

при r→∞. (15.25)

Перейдя, наконец, к скалярному и векторному уравнениям Даламбера (15.1) и (15.20), мы также должны заключить, что их решения вида (15.19) и (15.21) закономерны, поскольку в рассмотрение входят лишь расходящиеся волны.

Все перечисленные решения (15.10), (15.12), (15.19) и (15.21) по своему характеру действительно выражают расходящиеся волны (см. рассуждение в конце п. 3): волновой процесс, возбуждаемый в области источника (где запаздывая, распространяется в пространстве. Этот характер уже определяется выбранной функцией Грина (15.4). Надо иметь в виду, что имеется также функция Грина

(15.26)

(проверка производится совершенно так же, как в п. 1), с которой мы бы получили вместо (15.10), (15.12), (15.19) и (15.21) аналогичные решения типа сходящихся волн. Последние, однако, поскольку рассматривается бесконечное пространство, физически бессодержательны. Действительно, решение

(15.27)

при r  ∞ ведет себя как

Для поглощающей среды, т. е. такой, в которой расходящаяся волна затухает (см. выше), должно быть k" > 0. Но при этом

,

что легко проверяется по правилу Лопиталя:

.