Однородное уравнение первого порядка
Однородным уравнением первого порядка называется уравнение вида:
.
(6)
Для
его решения введем новую переменную
.
Тогда
и
.
Подставляя эти соотношения в (6),
получаем:
или
.
Это уравнение с разделяющимися
переменными, и оно легко интегрируется.
Найдя
,
получаем искомое решение
.
Пример2.
Решить уравнение:
.
Решение. Полагая и , получим:
,
или
.
Интегрируя обе части последнего уравнения, получим:
.
Произвольная
постоянная здесь взята в виде
для удобства. Тогда
и окончательно общее решение принимает
вид:
.
Пример3.
Решить
уравнение:
.
Решение.
Пусть
.
Тогда разделим обе части уравнения на
:
.
После замены переменной это уравнение приводится к виду:
,
или
.
Вычислим интеграл в левой части последнего уравнения:
Тогда
,
и общее решение уравнения записывается
в следующем виде:
.
Линейное уравнение первого порядка
Решить
линейное дифференциальное уравнение
первого порядка можно с помощью введения
двух новых искомых функций
и
,
положив
,
и дополнительного условия на одну из
них, выбираемую произвольно. Рассмотрим
применение этого метода на следующем
примере.
Пример4.
Решить
дифференциальное уравнение
.
Решение.
Будем
искать решение в виде:
;
Тогда
;
Подставляя выражения для искомой функции
и ее производной в рассматриваемое
дифференциальное уравнение, получим:
,
или
.
(7)
Поскольку
одну из функций
и
мы вправе выбрать произвольно, выберем
ее так, чтобы выполнялось условие:
Тогда уравнение (7) запишется в виде:
.
Это уравнение легко интегрируется:
;
.
Произвольную
постоянную здесь можно положить равной
нулю, так как мы выбираем частное
решение. Тогда
.
После
подстановки
в исходное уравнение получим (при
):
;
;
.
Таким
образом,
искомое общее решение.
Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется уравнение следующего вида:
.
(8)
Здесь
и
,
так как в этих случаях уравнение (8)
превращается в линейное уравнение.
Уравнение Бернулли, как и линейное уравнение, решается с помощью представления этой функции в виде .
Пример5. Решить уравнение:
.
(9)
Решение.
Это
уравнение Бернулли и
.
Положим
.
Тогда уравнение (9) запишется в виде:
.
(10)
Будем искать функцию как решение уравнения:
.
Тогда
и
.
Вычисляя интегралы, получим:
и
Подставляя полученное выражение в (10), получим:
.
Разделяя переменные и интегрируя, получим:
.
Выполняя интегрирование, приходим к выражению:
,
или
.
Окончательно
получаем:
.
Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:
.
(11)
Если уравнение (11) может быть разрешено относительно второй производной, то оно записывается в следующей форме:
.
Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка состоит в нахождении частного решения, удовлетворяющего начальным условиям:
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальные уравнения этого типа представляются в виде:
,
(12)
где
- постоянные
числа.
Будем
искать решение уравнения (12) в виде
,
где
постоянное число. После подстановки
этого выражения в (12) получим:
.
Поскольку
,
должно выполняться квадратное уравнение:
.
(13)
Это
уравнение называется характеристическим
уравнением
для уравнения (12). В зависимости от
величины его дискриминанта
возможны три случая:
а)
.
Можно показать, что общим решением в этом случае является комбинация двух линейно-независимых решений, отвечающих двум различным корням характеристического уравнения:
.
(14)
б)
.
В этом случае общим решением будет:
.
(15)
в)
.
В этом случае характеристическое
уравнение имеет два комплексно-сопряженных
корня:
и
Общее решение записывается в следующем виде:
.
(16)
В
формулах (14)–(16)
и
произвольные постоянные.
Пример6.
Решить дифференциальное уравнение:
;
Решение.
Характеристическое уравнение принимает
вид:
;
Дискриминант положителен, уравнение
имеет два различных корня:
.
Тогда, согласно (14), общее решение
дифференциального уравнения записывается
в виде:
.
Пример7.
Решить дифференциальное уравнение:
;
Решение.
Характеристическое
уравнение
имеет один кратный корень
;
В соответствии с (15) общее решение
дифференциального уравнения записывается
в виде:
.
Пример8. Решить дифференциальное уравнение:
.
Решение.
Дискриминант
характеристического уравнения
отрицателен, характеристическое
уравнение имеет комплексные корни:
В этом случае формула (16) дает следующее
общее решение дифференциального
уравнения:
.