Верные значащие цифры приближенного числа
Определение 5: Значащими цифрами числа а называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.
Пример 5: Числа 0,001405и 5,0300 имеют соответственно 4 и 5 значащих цифр. Ноль, записанный в конце десятичной дроби, всегда значащая цифра. В числе 5,0300 последний ноль показывает, что число задано с точностью до десятитысячных.
Определение 6: Значащую цифру числа а называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Пример 6:
Сколько верных значащих цифр содержит
приближенное число
?
Решение:
Поскольку
,
то верными будут цифры 5, 8, 2.
Погрешности математических операций Абсолютная погрешность суммы и разности
Теорема 1: Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел не превышает суммы алгебраических погрешностей этих чисел.
Доказательство:
Пусть
- алгебраическая сумма точных чисел.
- сумма приближенных значений этих
чисел.
Абсолютные
погрешности их соответственно равны:
.
Вычитая из точного значения суммы её
приближенное значение, имеем:
или, переходя к модулям:
,
следовательно
,
что требовалось доказать.
Из последней формулы следует, что абсолютная погрешность алгебраической суммы не может быть меньше абсолютной погрешности наименее точного из слагаемых.
Пример 7:
,
где числа 204,4 и 144,2 верны с точностью до 0,1.
Значит, остальные
нужно округлить с точностью до 0,01,
сложить и округлить результат до 0,1.
Итак
Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел
Теорема 2: Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.
Доказательство:
Пусть
(1), где
- положительные
приближенные числа и их абсолютные
погрешности:
.
Логарифмируя (1), получим:
.
По теореме об абсолютной погрешности суммы:
.
Используя то, что
,
получим
,
что требовалось доказать.
Относительная погрешность частного
Теорема 3: Относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя.
Доказательство:
Пусть
- приближенные числа, а
- абсолютные погрешности этих чисел.
По теореме об абсолютной погрешности
алгебраической суммы:
,
что требовалось доказать.
Относительная погрешность натуральной степени и корня
Теорема 4: Относительная погрешность m-й степени приближенного числа (m-натуральное) в m раз больше относительной погрешности самого числа.
Доказательство:
Пусть
,
тогда
,
что требовалось доказать.
Вывод: В результате вычисления степени приближенного числа следует оставить столько верных значащих цифр, сколько верных значащих цифр в основании.
Теорема 5: Относительная погрешность корня m-й степени в m раз меньше предельной относительной погрешности подкоренного числа.
Доказательство:
Пусть
,
тогда
,
т.е.
.
Правила подсчета цифр
При массовых вычислениях с приближенными или точными числами, а также с числами, у которых погрешность отсутствует, используют правила подсчета цифр:
промежуточные вычисления следует получать хотя бы с одной запасной цифрой, по отношению к значащим цифрам чисел, участвующим в промежуточном вычислении,
окончательный результат вычисления содержит то количество значащих цифр, которое имеет исходное число с наименьшим числом значащих цифр.
Пример 8: Вычислить выражение: Y = 0,125а2 (8b-c),
где a = 18; b = 2,75; c = 3,232.
Решение:. Так как погрешность чисел а,b,с отсутствует то вычисления производим в соответствии с правилами подсчета цифр.
Преобразуем исходное выражение к следующему, более рациональному виду :
Y =.0,125а2 (8b-c) = a2 (b-c/8)
Исходное выражение содержало 5 действий, а окончательное выражение содержит 4 действия.
Далее последовательно производим необходимые вычисления (в соответствии с числом а = 18, у которого две значащие цифры) и записываем результат в форме с плавающей запятой:
Y = 324 • (2,75 - 0,404) = 324 • 2,346 = 760 = 7,6 • 102.