Решение типового варианта

Задание 1. Даны две матрицы А = и В= . Найти:

а) обратную матрицу , проверить выполнение равенства ;

б) значение матричного многочлена .

Решение:

а) Обратную матрицу будем искать по формуле . Найдём определитель матрицы А по правилу треугольника: . Найдём алгебраические дополнения по формуле :

Получили обратную матрицу

Проверим выполнение условия .

= =

= Верно. Следовательно, матрица найдена правильно.

б) Найдём =5 -3 -4 =

= -

=

= .

Задание 2. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений

Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса.

Решение:

Найдем ранг матрицы данной системы и ранг расширенной матрицы

     .

Для этого умножим первую строку матрицы В на –2 и сложим со второй, затем умножим первую строку на –3 и сложим с третьей, поменяем местами второй и третий столбцы. Получим

.

Следовательно, rangA=rang =3 (т.е. числу неизвестных). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.

а) По формулам Крамера

,

где

,

, , ,

находим: .

б) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме . Решение системы в матричной форме имеет вид . Находим обратную матрицу:

, , ,

, , ,

, , ,

.

Решение системы:

.

Итак, х₁=-4, х₂=1, х₃=-2;

в) Решим систему методом Гаусса. Исключим х₁ из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго, затем первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего:

Из последнего уравнения системы находим х₂=1, затем из второго уравнения находим х₃=-2 и из первого уравнения системы находим х₁=-4.

Задание 3. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(1,2), В(3,4) и С(6,3). Найти:

а) длину стороны АВ;

б) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;

в) угол А;

г) уравнение высоты СD и её длину;

д) уравнение медианы АЕ и координаты точки К, пересечения этой медианы с высотой СD;

Решение:

а ) Длина стороны АВ:

б) Уравнения сторон АВ и АС:

в)

г) Уравнение высоты СD и её длину. Найдём угловой коэффициент прямой СD. Так как СD – высота к стороне АВ, то и их угловые коэффициенты связаны соотношением . Найдём угловой коэффициент прямой CD: . Теперь найдём уравнение высоты: Таким образом

Длину высоты найдём по формуле расстояния от точки С до прямой АВ:

ед.

д) Уравнение медианы АЕ и координаты точки К, пересечения этой медианы с высотой С.

Так как АЕ медиана к стороне ВС, то ВЕ=ЕС. Найдём координаты точки Е:

Найдём уравнение прямой АЕ: или

Координаты точки К найдём из следующеё системы: . Решая которую получим

Задание 4. Даны три вектора , , . Для векторов, указанных в пунктах а)-д), выполнить соответственно следующие операции:

а) вычислить смешанное произведение трёх векторов ;

б) найти модуль векторного произведения векторов ;

в) вычислить скалярное произведение векторов и угол между векторами;

г) проверить векторы на коллинеарность и ортогональность;

д) проверить, будут ли векторы компланарны .