Абсолютная и относительная погрешности

Пусть А-точное значение некоторой величины, - известное приближение к нему, т.е. приближенное значение величины А. Обозначим или .

В зависимости от типа величины принято называть А точным числом, а его приближение а - приближенным числом. Например, в соотношениях число - является точным; числа 3,14; 3,142 – приближенные.

Разность или ( ) между точным и приближенным значениями величины называется погрешностью значения (но не А). Так как степень точности приближений удобно характеризовать с помощью неотрицательных чисел, вводится понятие абсолютной погрешности: (1)

Знак ( ) свидетельствует о том, что погрешность между А и а не больше (но может быть и меньше). Действительно, совершенно неважно или . Главное - насколько они отличаются.

Абсолютная погрешность дает ценную информацию о неизвестном (часто) точном значении А: оно находится от известного приближения ( ) на расстоянии, не большем, чем . Запись (1) можно представить иначе .

Следовательно, найдя приближенное значение и его абсолютную погрешность , узнаем, что точное значение А располагается на отрезке , но где точно - ответить на этот вопрос нельзя. Например, для измерения длины l болта использованы метровая линейка с делениями 0,5 см и линейка с делениями 1 мм (0,1 см). В обоих случаях получен результат см. Ясно, что в первом случае отклонение найденной длины 3,5 см от истинной не должно по модулю превышать 0,5 см, во втором случае – 0,1 см. Иначе, в первом случае см, во втором случае см. Очевидно, во втором случае измерение выполнено более точно. Отклонение ;

называется относительной погрешностью. Она позволяет оценить точность несопоставимых чисел. Часто используют соотношения: .

Если известна абсолютная погрешность приближенного значения а, то а называется приближением к А с точностью до . Когда говорят, что надо получить результат с заданной точностью ε, это означает, что его абсолютная погрешность не должна быть больше ε.

Разрядность чисел, значащие и верные цифры

С помощью абсолютных погрешностей определяют так называемые верные и значащие цифры приближенных чисел.

Пусть приближенные число записано в виде десятичной дроби: , т.е. ; .

Степени (i j) называются «порядок числа», а число, равное 10ⁱ, называется разрядом числа. Очевидно, все целые числа от 0 до 9 – числа нулевого порядка (имеют разряд единиц, т.к. 10⁰=1), от 10 до 99 – числа первого порядка (имеют разряд десятков, т.к. 10¹=10), от 100 до 999 – числа второго порядка (имеют разряд сотен, т.к. 10²=100) и т.д. Если говорят, что данное число является (или должно быть) четвертого порядка, то это любое число от 10000 до 99999.

Все цифры дробной части (десятичной) записи числа, начиная с первой ненулевой цифры слева, называются значащими цифрами этого числа. Нули в конце числа всегда считаются значащими, в противном случае их не пишут. Например, числа 0,5020 и 0,05020 имеют одинаковые значащие цифры: 5; 0; 2; 0. Абсолютную погрешность не следует записывать с большим количеством значащих цифр. Основной информацией, содержащейся в ней, является значение первой ненулевой цифры и десятичный разряд, в котором эта цифра расположена (например, ± 0,004, ±0,0001).

Все значащие цифры подразделяются на верные и сомнительные. Их идентификация базируется на величине заданной погрешности числа.

Правило 1. Значащая цифра приближенного числа а называется верной, если она находится в разряде, половина которого больше абсолютной погрешности . Остальные цифры, для которых это правило не выполняется, считаются сомнительными.

Задача 1. Для приближенного числа x=72,356 известна абсолютная погрешность . Требуется определить его верные значащие цифры.

Решение. Выполним проверку на «верность» для каждой цифры числа.

1) Проверим цифру 7. Половина единицы ее разряда . Значит, она верная.

2) Проверим – цифру 2. Половина единицы ее разряда . Она тоже верная.

3) Цифра 3. Половина ее разряда . Значит и она верная.

4) Цифра 5. Половина ее разряда . Значит цифра 5 сомнительная, а соответственно сомнительна и цифра 6.

Итак, верными являются цифры 7; 2; 3. Остальные цифры – сомнительные.

Задача 2. Даны числа а,в,с и их абсолютные погрешности. Определить верные цифры.

а=2,645 в=0,81726 с=3968 .

Решение. В числе а верными будут числа 2, 6, 4, сомнительная одна цифра 5.

В числе в верной будет цифра 8, остальные сомнительные.

В числе с верными будут только цифры 3, 9, остальные сомнительные.

Таким образом, верные цифры в равноправной степени

- могут состоять только из нулей (например, если число 78,00 имеет все верные цифры, значит оно записано с точностью до 0,005) и тогда нули пишут обязательно;

- могут содержать и значащие цифры (например, число 78,0051 с точностью до 0,0005 имеет верные цифры после запятой 0; 0; 5, а число 1 сомнительное).

Нередко бывает так, что исходные числовые данные приводятся без оценки их погрешностей, но с известными верными цифрами. Возникает обратная задача: найти абсолютные погрешности этих чисел, необходимые для последующего учета погрешностей. Решение следует из определения верной цифры. Если дробная часть числа а=4,06 содержит только верные цифры, то это означает, что .

Правило 2: за абсолютную погрешность (если она не задана отдельно) приближенного числа с известными верными цифрами принимается половина единицы того разряда, где находится последняя верная цифра.

Обратим внимание на информационную значимость нулей, записанных в конце числа. Так, если известно, что все цифры чисел 3,2 и 3,20 верные, то эти записи неравноценны. За абсолютную погрешность первого числа можно взять . Для второго .

Правило 3: когда в конце числа получаются верные нули округления, их следует сохранять.

Пусть число а= -17,298 с абсолютной погрешностью требуется округлить до верных цифр. Очевидно, что последней верной цифрой должна быть вторая после запятой, т.е. а= -17,30, но не а= - 17,3 (заметим, что в числе а=17,30 нет сомнительных цифр). Но если для того же числа , округленное число будет а=17,3.

Очень часто, для облегчения понимания требований, предъявляемых к приближенному числу, применяют термин «точность». В числе, определяемом как точность, последняя правая цифра указывает на разряд последней верной цифры, например, в дробной части приближенного числа. Если приближенное число должно быть вычислено с точностью, например, до 0,001, это означает, что в результате третья после запятой цифра должна быть верной, если точность оценивается числом 0, 01, то в дробной части вторая цифра после запятой должна быть верной. Заметим, что для выполнения первого требования число должно иметь абсолютную погрешность не более ±0,0005, во втором случае – не более ±0,005