Методические указания

1. Решение задачи необходимо начинать с выбора системы отсчета, которая включает в себя тело отсчета, систему координат и часы. Следует помнить, что в классической механике пространство и время «абсолютны», т.е. масштабы длин и промежутков времени не изменяются от одной системы к другой.

2. Следует уяснить из текста задачи, о каком способе описания движения материальной точки идет речь. Существует три способа: а) векторный, когда закон движения, определяющий положение точки, задается уравнением r = r(t), где r – радиус-вектор исследуемой точки, проведенный из неподвижной точки О выбранной системы координат; б) координатный, когда закон движения, например, для декартовой системы координат задается уравнениями: х = х(t), y = у(t), z = z(t), где х,у,z – проекции радиуса-вектора точки на оси координат относительно начала координат в момент времени t; в) траекторный, когда закон движения задается уравнением s = s(t). При этом известны траектория движения, точка начала отсчета О и положительное направление дуговой координаты s вдоль траектории.

3. При решении «прямой» задачи кинематики по известному закону движения путем дифференцирования находятся кинематические характеристики: скорость, ускорение и др.

4. При решении «обратной » задачи по заданному ускорению путем интегрирования можно найти скорость и положение точки в момент времени t, при этом необходимо дополнительно знать начальные условия, т.е. скорость и положение точки в момент времени t = 0.

5. При решении задач на относительную скорость целесообразно использовать закон сложения скоростей, записанный в векторной форме. При этом важно понимать, как движется подвижная система координат относительно неподвижной.

6. В кинематике твердого тела можно выделить пять видов движения твердого тела: а) поступательное; б) вращение вокруг неподвижной оси; в) плоское; г) движение вокруг неподвижной точки; д) свободное. При этом основными видами являются поступательное и вращательное движение вокруг неподвижной оси. Более сложные движения можно рассматривать как совокупность основных.

7. При поступательном движении твердого тела все точки за одинаковые промежутки времени совершают одинаковые переме-щения, поэтому задачу можно свести к кинематике поступательного движения точки.

8. Кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси являются угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение. Следует помнить, что это аксиальные векторы. Векторы угла поворота и угловой скорости совпадают и связаны с направлением поворота правилом правого винта. Вектор углового ускорения сонаправлен с угловой скоростью в случае ускоренного движения и направлен противо-положно при замедленном движении.

9. В ряде задач необходимо знать и использовать связь между линейными и угловыми кинематическими величинами 1.16-1.19 и 1.20-1.23.

Примеры решения задач

Задача 1.1. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью м/с. Определить максимальную высоту его подъема над землей и длину пути , пройденного им за с от начала движения. На какой высоте находится тело в конце третьей секунды?

Движение прямолинейное: при подъеме – равнозамедленное с ускорением и начальной скоростью , при спуске – равно-ускоренное с начальной скоростью .

Длина пути складывается из максимальной высоты подъёма и пути , которое тело прошло на спуске от верхней точки траектории.

Время подъема определяется условием

(с);

 м,

где отсчитывается от начала спуска:  с, тогда искомый путь

 м.

Высота подъема в данной задаче совпадает с вектором перемещения за 3 с движения:

 м.

Задача 1.2. Зависимость пути от времени задана как . Определить скорость тела, ускорение к концу второй секунды движения.

По определению,  (м/с), (м/с²).

Задача 1.3. Путь задан функцией времени Найти среднюю скорость движения между с и с. Какова средняя скорость на первых восьми метрах пути тела?

По определению,

где с.

Подставляя числовые значения, получаем м/с; а модуль мгновенной скорости определяется функцией

Первые восемь метров пути тело проходит за , тогда

м/с.

Задача 1.4. Материальная точка движется в плоскости XY по закону x = 3+2t, y = 2t - 4t². Найти уравнение траектории движения и радиус кривизны траектории в начальный момент времени.

Уравнение траектории y = f(x) получаем, исключая t из системы уравнений

,

полученное уравнение соответствует параболе, ветви которой направлены вниз.

Радиус кривизны находим из (1.23) где

Далее

Тогда а при t = 0 Полное ускорение ,

с другой стороны где

В начальный момент времени

Итак, искомый радиус кривизны в начальный момент времени (м).

Задача 1.5. Тело брошено с поверхности Земли с начальной скоростью  м/с под углом к горизонту. Определить, на каком расстоянии от точки бросания находится тело спустя время от начала движения; какой угол составляет вектор скорости с горизонтом и величины нормальной и тангенциальной составляющих ускорения в этот момент времени.

Движение тела происходит по параболе, ускорение постоянно и равно ускорению свободного падения . Пусть тело в момент времени  с находится в точке А (рис. 1.3). Запишем основные уравнения (1.9) и (1.11) для вектора и скорости :

Спроецируем эти уравнения на оси и :

(1.24)

где   – координаты точки А, в которой находится тело в момент времени  с. Используя уравнения (1.24), находим искомое расстояние

м.

При решении задач на определение составляющих ускорения (тангенциальной и нормальной) или радиуса кривизны траектории R проще всего использовать тот факт, что вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории и угол между вектором и осью Х как функция времени определяется условием

. (1.25)

Угол между вектором полного ускорения и его нормальной компонентой также равен , т.е. для компоненты ускорения согласно рис. 1.4:

. (1.26)

Используя (1.25) находим, что через 1 с после начала движения:

т.е.

Далее, согласно (1.26):

 м/с² ,

.

Для данных начальных условий тело через 1 с находится в верхней точке траектории.

Задача 1.6. Тело брошено с вышки, высота которой м, со скоростью м/с под углом к горизонту. Найти радиус кривизны траектории как функцию времени. Вычислить радиус кривизны через 4 с после начала движения? Какова максимальная высота, которой достигнет тело и какова дальность его полета? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Проекции скорости на выбранные (рис. 1.5) оси координат . Время подъема определяется условием в верхней точке траектории: , отсюда  с.

Рис. 1.5

Высота подъема над уровнем определяется из уравнения для координаты y системы (1.24)

Согласно рис. 1.5 максимальная высота подъема =61,25 м.

Время всего движения определяется из условия y = 0, т.е. .

Полученное квадратное уравнение имеет два корня: 5 и -2, тогда время полёта тела равно 5 с.

Теперь можно вычислить дальность полёта  м.

Радиус кривизны может быть определен из где из (1.26) Тогда в момент времени = 4 с получаем м.

Задача 1.7. Тело, брошенное под углом к горизонту, спус-тя время имело нормальное ускорение а через время упало на Землю. Под каким углом было брошено тело?

Зная значение нормального ускорения в момент времени , из (1.26) находим угол (рис. 1.6):

или

Рис. 1.6

С другой стороны, согласно (1.25),

Согласно условию задачи полное время движения , откуда

Тогда а .

Искомый угол определяется выражением

Задача 1.8. Из одного пункта в одинаковом направлении выходят два тела с начальными скоростями м/с и м/с. Второе выходит на с позже первого. С каким предельным (одинаковым у обоих и постоянным во времени) ускорением они могут двигаться, чтобы второе тело смогло догнать первое?

Второе тело сможет догнать первое, если к моменту выхода второго скорость первого не будет превышать начальной скорости второго, так как они движутся с одинаковыми ускорениями, т.е.

и

м/с².

Задача 1.9. Тело вращается относительно неподвижной оси с постоянным угловым ускорением рад/с². Определить , , точек тела, находящихся на расстояниях R=2 м от оси вращения. Найти угловую и линейную скорости этих точек через 3 с от начала вращения. Сколько оборотов совершило тело за это время?

Угловая скорость для любой точки тела одинакова и равна: рад/с. Линейная скорость зависит от расстояния точки до оси вращения:

(м/с).

Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения согласно (1.23) и (1.22) соответственно равны:

(м/с²) и (м/с²).

Найдём полное ускорение (м/с²).

Угол, на который повернётся тело за 3 с, определяется согласно (1.14): (рад), тогда число оборотов тела .

Задача 1.10. Колесо вращается вокруг неподвижной оси (рис. 1.7) так, что угол его поворота зависит от времени, как где рад/с². Найти полное ускорение точки А на ободе колеса в момент с, если линейная скорость точки А в этот момент м/с.

Рис. 1.7

Модуль полного ускорения точки А определяется значениями тангенциального и нормального ускорений в соответствии с выражением .

Определяем тангенциальное ускорение (1.22):

.

Нормальное ускорение связано с угловой скоростью и радиусом окружности соотношением (1.23): где

Радиус окружности находим, используя связь между линейной и угловой скоростями (1.21):

Тогда

м/с².

Задача 1.11. Шарик радиусом см может вращаться относительно горизонтального стержня 00, который, в свою очередь, вращается относительно вертикальной оси, при этом шарик катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Расстояние от вертикальной оси до центра шара  см. Линейная скорость центра масс шарика  см/с. Определить вектор угловой скорости шарика.

Шарик имеет две степени свободы: вращение относительно вертикальной оси с угловой скоростью и относительно горизонтальной оси – . Тогда как видно на рис. 1.8 вектор угловой скорости в этом движении определяется .

Линейная скорость центра шарика связана с соотношением , откуда . За один оборот относительно вертикальной оси шарик повернется относительно горизонтальной оси раз.

Рис. 1.8

Так как проскальзывания нет, число оборотов равно

Отсюда частота вращения шарика относительно горизонтальной оси , а

.

Модуль вектора угловой скорости равен:

Угол между вектором угловой скорости и горизонтальной плоскостью определяется соотношением

Задача 1.12. В момент времени частица начала двигаться из начала координат в положительном направлении оси (рис. 1.9). Ее скорость меняется со временем по закону где – вектор начальной скорости, модуль которого м/с, с². Найти путь , пройденный частицей за время  с.

Рис. 1.9

Найдем выражение для вектора , используя известную зависимость скорости от времени (1.9):

Модуль вектора перемещения за полное время движения .

Путь , пройденный точкой за 5 с складывается из пути частицы до остановки в точке А и пути в обратном направлении до точки В. Из рисунка очевидно, что искомый путь можно вычислить как где – время, прошедшее от начала движения до поворота в точке А. Время определяем из условия откуда , или с. Подставив и в выражение для получим м.

Задача 1.13. Точка движется, замедляясь по окружности радиусом , так, что ее тангенциальное ускорение все время равно нормальному. Найти закон изменения величины скорости, полагая, что в начальный момент времени точка имела скорость . Определить зависимость пройденного пути от времени.

Запишем условие равенства тангенциального (1.7) и нормального (1.6) ускорений в виде

.

Знак “минус” соответствует замедленному движению Перепишем это равенство в виде

Интегрируя по времени от 0 до , получаем с учетом начальных условий

откуда выражаем как функцию времени :

Зависимость пройденного телом пути от времени находим, используя (1.8):