Глава 6 метод координат в пространстве.

СМЕШАННОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Координаты точек в пространстве. Решение простейших задач в координатах

Системой координат в пространстве называется объединение точки О и базиса {е₁, е₂ е₃} трехмерного векторного пространства Vз. Система координат обозначается так: (О, е₁,е₂ , е₃).

Если дана система координат (О, е₁,е₂ , е₃), то координатами точки М в этой системе координат называются координаты её радиус вектора ОМ в базисе{е₁,е₂, е₃}, т.е. если ОМ = х е₁ + у е₂ + z е₃ , то числа х, у и z – координаты точки М , М(х,у, z ).

Если дана система координат (О, е₁,е₂ е₃ ) и А(х₁,у₁, z₁ ),

В(х₂ ,у₂, z₂ ) то вектор АВ имеет координаты АВ(х₂ – х₁, у₂ – у₁,, z₂ – z₁ ).

Если дана прямоугольная декартова система координат

(О, i, j, k) и А(х₁,у₁, z₁ ), В(х₂ ,у₂, z₂ )

___________________. .

то │АВ│= √ (х₂ – х₁)² + (у₂ – у₁)² + (z₂ – z₁)²

Если дана система координат и А(х₁,у₁, z₁ ), В(х₂ ,у₂, z₂ ) и С(х,у,z ), а (АВ,С) = λ , то

х = (х₁ + λ х₂) :(1 + λ), у = (у₁ + λ у₂):(1 + λ), z = (z₁ + λ z₂) :(1 + λ).

Эти формулы называются формулами деления отрезка в данном отношении.

ЗАМЕЧАНИЕ. Во всех задачах этого пункта, где нет специальной оговорки, предполагается, что система координат прямоугольная декартова.

6.1. АВСДА₁В₁С₁Д₁ – параллелепипед. АВ = е₁, АД = е₂, АА₁= е₃. Построить точки М(1/2, 1/2, 1/3), Р(1, -1/3, -1), К(1, 0, -5/4).

6.2. АВСДА₁В₁С₁Д₁ – куб со стороной 2.В системе координат (О, i, j, k)

i ↑ ↑ АД, j ↑ ↑ АВ, k↑ ↑ АА₁ . Найти координаты точек Д₁, С₁, если О - точки пересечения диагоналей грани ВСС₁В₁.

6.3. АВСД – тетраэдр. Назовите все координатные оси и координатные плоскости аффинной системы координат а) (А, АВ,АС, АД),

б) (Д, ДВ, ДА, СД) .

6.4. Через точку А проведены прямые, параллельные осям ОХ, ОУ, ОZ аффинной системы координат, которые пересекают координатные плоскости ОУ Z, ОХ Z, ОХУ в точках А₁, А₂, А₃.

Найти координаты этих точек, если а)А(2,-3,4), б) А(-3, , 4).

6.5. В аффинной системе координат даны точки А(3,8,-2), В(2,1,4),

С(-2,-3,6), Д(-1,4,0), Е(0,11,-6). Указать среди следующих векторов равные: АВ, ВС, ДС, СД, АД, АС, ВД, ДЕ.

ЗАДАЧА

Дан четырехугольник А(-1,0,2), В(0,2,-1), С(4,6,3), Д(3,4,6). Определить вид этого четырехугольника.

РЕШЕНИЕ

Так как специальной оговорки о системе координат нет, то данная система координат прямоугольная декартова.

1. Найдем координаты векторов АВ, ВС, СД, ДА.

АВ(1,2,-3), ВС(4,4,4), СД(-1,-2,3), ДА(-4,-4,-4). Так как АВ = ДС и векторы АВ и ВС не коллинеарны, то четырехугольник АВСД – параллелограмм.

2. Выясним, является ли параллелограмм АВСД ромбом, для этого найдем длины его сторон АВ и ВС.

АВ = = , ВС = = 4 .

Так как длины смежных сторон АВ и ВС параллелограмма АВСД не равны, то этот параллелограмм не является ромбом.

3. Выясним, является ли параллелограмм АВСД прямоугольником, для этого найдем скалярное произведение векторов АВ и ВС.

АВ ·ВС = 1· 4 + 2· 4 + (-3) · 4 = 0. Следовательно, АВ ВС, значит АВСД – прямоугольник.

ОТВЕТ. АВСД – прямоугольник.

6.6. Доказать, что четырехугольник АВСД является параллелограммом, если в аффинной системе координат А(1,-3,-2), В(8,0,-4), С(4,8,-3), Д(-3,5,-1).

6.7. В аффинной системе координат найти координаты вершины Д и точки пересечения диагоналей параллелограмма АВСД, если а) А(2,5,4), В(0,1,0), С(4,1,3), б) А(2,1,1), В(3,-1,1), С(0,2,-3).

6.8. В аффинной системе координат даны координаты вершин параллелепипеда АВСДА₁В₁С₁Д₁ : А(2,-1,1), В(1,3,4), А₁(4,2,0), Д(6,0,1). Найти координаты остальных вершин.

6.9. Лежат ли точки А, В, С, заданные своими координатами в аффинной системе координат, на одной прямой: а) А(3,2,1), В(5,3,-2), С(1,1,4),

б) А(1,-3,5), В(3,-1,7), С(0,4,3), в) А(-1,0,4), В(2,3,1), С(8,9,-5),

г) А(3,0,-8), В(1,3,4), С(0,-2,1).

6.10. Найти в аффинной системе координат координаты точки, которая делит отрезок АВ в отношении λ:

а) А(2,4,-1), В(0,3,4), λ = 2, б) А(0,0,0), В(3,0,4), λ = -3,

в) А(4, , -3), В(1,5,-3), λ = ½.

6.11. Точка М – середина отрезка АВ. В аффинной системе координат найти а) координаты точки М, если А(-3,0,4), В(-3,1,2), б) координаты точки В, если М(-1,1,3), А(0,15,0).

ЗАДАЧА

В аффинной системе координат даны две вершины треугольника

А(-4,-1,2) и В(3,5,-16). Найти координаты третьей вершины С, если точка М, которая делит отрезок АС в отношении λ = 2. лежит в плоскости ОХZ, а середина отрезка ВС лежит на оси ОУ.

РЕШЕНИЕ

Обозначим координаты точки С(х,у,z).

Точка М, которая делит отрезок АС в отношении λ = 2, имеет координаты М( , , ) и точка М лежит в плоскости ОХZ, поэтому вторая координаты этой точке равна нулю, т.е. =0 и значит у = ½ .

Середина Р отрезка ВС имеет координаты Р( , , ) и точка Р принадлежит оси ОУ, поэтому первая и последняя ее координаты равны нулю, т.е. х = -3, z – 16.

Таким образом точка С имеет координаты С(-3, ½ , -16).

ОТВЕТ. С(-3, ½ , -16).

6.12. В аффинной системе координат даны две вершины треугольника

А(-4,-1,2) и В(3,5,-16). Найти координаты третьей вершины С, если середина АС лежит на оси ОУ, а середина ВС лежит в плоскости ОХZ.

ЗАДАЧА

В аффинной системе координат даны точки А(2,-3,6), В(1,1,1), С(5.-5,1). Выяснить, пересекаются ли прямая АВ и прямая, проходящая через точку С и начало координат.

РЕШЕНИЕ

Пусть точка Х – любая точка, лежащая на прямой АВ и делящая отрезок АВ в отношении α, тогда Х( , , ).

Пусть У – любая точка, лежащая на прямой ОС и делящая отрезок ОС в отношении β. Тогда У( , , ).

Если прямые АВ и ОС пересекаются, то у них существует общая точка М, тогда М совпадает с некоторой точкой Х, лежащей на прямой АВ, и М совпадает с некоторой точкой У, лежащей на прямой ОС, следовательно,

= , = , = . (*)

Найдем α и β из системы, состоящей из первых двух из полученных уравнений (*), получим α = ½, β = ½ . Т.к. эти значения α и β не удовлетворяют третьему уравнению (*), то такой точки М не существует и , следовательно прямые АВ и ОС не пересекаются.

ОТВЕТ. Прямые АВ и ОС не пересекаются.

6.13. Дана аффинная система координат. Пересекает ли прямая, проходящая через точки А(8,-6,7) и В(-20,15,10) оси координат?

6.14. Дана аффинная система координат, А(-3,5,15), В(0,0,7), С(2,-1,4)

Д(4,-3,0). Выяснить пересекаются ли прямые АВ и СД?

6.15. В аффинной системе координат даны координаты вершин треугольника АВС: А(2,1,1), В(3,0,4) и С(0,0,16). Найти координаты середины отрезка АМ, где М – точка, которая делит отрезок ВС в отношении а) λ = 1, б) λ = 4.

6.16. Дана точка М(2,-1,1). Найти координаты точек, симметричных точке М относительно: а) начала координат, б)координатных плоскостей ОХУ, ОХZ, ОУZ, в) координатных осей ОХ, ОУ, ОZ.

6.17. Найти углы треугольника АВС, если его вершины заданы координатами: А(1,2,-4), В(4,0,-10), С(-2,6,8).

6.18. Найти расстояние а) между точками А₁(1,2,3) и А₂(1,-2,0),

В₁(2,-3,1)) и В₂(1,-3,8)), С₁(-1,-1,0) и С₂(2,3, ), б) от начало координат до точек М(1,-3, ) N(0,2,3), P(3, , -3), Q(1,-5,6).

6.19. Найти радиус сферы с центром Мо(1,1,6), проходящей через точку

А(-2,0,2).

6.20. Доказать, что треугольник с вершинами А(3,5,-4), А(-1,1,2), С(-5,-5,-2) является равнобедренным.

6.21. Доказать, что четырехугольник с вершинами в точках А(7,2,4),

В(4,-4,2), С(6,-7,8), Д(9,-1,10) является квадратом.

6.22. Найти длины медиан треугольника, вершины которого находятся в точках А(-3,1,0), В(0,0,0), С(2,4,6).

6.23. На оси ОZ найти точку, равноудаленную от двух точек

А(-4,1,7) и В(3,5,-2).

6.24. В плоскости ОУZ найти точку, равноудаленную от точек А(3,1,2), В(4,-2,-2), С(0,5,1).

6.25. Найти координаты центра и радиус сферы, которая проходит через точки (0,0,0), (0,2,0), (1,0,0), (0,0,3).

6.26. Доказать, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А(7,8,9), В(9,3,7), С(5,4,3), Д(3,9,5), является ромбом.

6.27. Доказать, что треугольник является равносторонним, если: а)А(9,3,-5), В(2,10,-5), С(2,3,2), б) А(р, к, h), В(к, h, р), С(h, р, к).

ЗАДАЧА

Найти длины медианы АМ, и высоты АН треугольника АВС, если А(1,4,4), В(4,-1,3), С(-8,7,-5).

РЕШЕНИЕ

1. Найдем длину медианы АМ. Т.к. точка М является серединой отрезка ВС, то координаты точки М равны полусуммам соответствующих координат точек В и С, т.е. М(-2,3,-1 ) Следовательно, АМ = .

2. Найдем длину высоты АН. Пусть точка Н(х,у,z), тогда так как точка принадлежит прямой ВС, то векторы ВН и ВС коллинеарны, следовательно ВН = λВС, отсюда следует, что

х – 4 = - 12λ, у + 1 = 8λ, z - 3 = - 8λ или

х = 4 - 12λ, у = -1 + 8λ, z = 3 - 8λ,

тогда Н(4 - 12λ, -1 + 8λ, 3 - 8λ). Так как АН ВС, то АН ВС = 0,

АН(3 - 12λ, -5 + 8λ, -1 - 8λ), ВС(-12,8,-8), поэтому из АН ВС = 0 следует:

-12(3 - 12λ) + 8( -5 + 8λ) - 8(-1 - 8λ) = 0, отсюда λ =¼ , поэтому

Н(1,1,1)

Зная координаты точек А(1,4,4) и Н(1,1,1) находим, что

АН = .

ОТВЕТ. АМ = , АМ = .

6.28. Прямая АВ пересекает координатные плоскости ОХУ и ОУZ в точках М и Р. Найти длину отрезка МР, если а) А(2,1,1), В(-2,0,3), б) А(-3,1,1), В(0,-1,2).

6. 29. Найти длины медианы АМ, и высоты АН треугольника АВС, если А(1,2,-1), В(2,3,4), С(-1,-6,-5).

6.30. Найти длину биссектрисы АД треугольника АВС, если А(4,1,-2), В(2,0,0), С(-2,3,-5).