
6.2 Кубічний сплайн
Деяка функція f(x)
задана на
відрізку
,що
розбитий на частини
Кубічним сплайном дефекту
1 називається
функція
,
яка:
на кожному відрізку є многочленом степеня не вище третього;
має неперервну першу та другу похідні на всьому відрізку ;
в точках виконується рівність
, тобто. сплайн інтерполює функцію f в точках .
Для однозначного задання сплайну вищевказаних умов недостатньо, для побудови сплайна необхідно накласти додаткові вимоги .
Кубічним сплайном називається сплайн,що задовольняє граничним умовам виду:
Теорема: Для будь-якої функції і будь-якого розбиття відрізка існує лише один сплайн S(x), ,що задовольняє перечисленим вище умовам.
Ця теорема є наслідком більш загальної теореми Шойнберга-Уітні про умови існування інтерполяційного сплайна.
Побудова
Позначимо:
На кожному
відрізку
функція
є
поліномом
третього
степеня
,
коефіцієнти
якого треба визначити.
Запишемо
для зручності
в
виді:
тоді
Умови неперервності всіх похідних до 2-го порядку включно записуютьсятак:
а умови інтерполяції в виді
Звідси отримуємо формули для обчислення коефіцієнтів сплайна:
,
Якщо врахувати,
що
,
то обрахунок
можна
провести завдяки
методу
прогонки для трьохдіагональної
матриці.
7.Задача оберненого інтерполювання
Задача оберненого інтерполювання полягає у знаходженні значення аргументу, що відповідає заданому значенню функції, якого немає в таблиці. Вона обернена до задачі інтерполювання, яка полягає у знаходженні значення функції за аргументом.
Якщо функція
строго
монотонна (зростаюча або спадна) на
заданій ділянці таблиці, то для неї
існує обернена монотонна функція
.
У цьому разі обернене інтерполювання
зводиться до звичайного інтерполювання
для оберненої функції
.
До задачі оберненого інтерполювання відноситься обернене інтерполювання за формулою Гауса.
Інтерполяційна
формула Гауса —
формула,що використовує в якості вузлів
інтерполяції найближчі до
точки інтерполювання x узлы
. Якщо
,
то формула
написана
по вузлам
,
називається формулою
Гауса для інтерполювання
вперед, а формула
написана
по вузлам
,
називається формулою
Гауса для інтерполювання
назад. В формулах (1)
и (2) використані
скінченні
різниці,
що визачаються
наступним чином :
Перевага інтерполяційної формули Гауса полягає в тому, що зазначений вибір вузлів інтерполяції забезпечує найкращу оцінку залишкового члена в порівнянні з будь-яким іншим вибором, а впорядкованість вузлів у міру їх близькості до точки інтерполяції зменшує обчислювальну похибку інтерполяції