Релятивистское сложение скоростей

«До сих пор мы считали, что предметы или частицы покоятся в одной системе координат и движутся со скоростью v в другой. Рассмотрим теперь случай, когда в одной из систем отсчёта предмет имеет скорость u_x, а в другой u_x΄. На рис 9-1 приведён пример ситуации такого типа, в которой по измерениям м-ра X скорость автомобиля u_x, а по измерениям м-ра Х΄ он движется быстрее – со скоростью u_x΄. В классической механике u_x΄= u_x+ v. Релятивистское правило сложения скоростей получается с помощью преобразований Лоренца, записанных в дифференциальной форме: dx΄=γdx+γvdt, dt΄=γdt+(γv/c²)dx. Разделим первое уравнение на второе:

.

Обозначая dx/dt и dx΄/dt΄ соответственно через u_x и u_x΄, получаем:

u_x΄= .

Это соотношение называется релятивистским (или эйнштейновским) правилом сложения скоростей. Очевидно, результирующая скорость меньше суммы двух скоростей u_x и v. Однако если обе скорости малы по сравнению со скоростью света, то результирующая скорость очень близка к сумме скоростей.

Если теория непротиворечива, то полученное выражение должно запрещать скорости больше чем с. Допустим, что в нештрихованной системе отсчёта частица движется уже со скоростью света (это может быть частица света – фотон); таким образом, u_x=c. При этом наблюдатель в штрихованной системе обнаружит, что

.

Мы видим, что свет (или что-то другое), распространяющийся со скоростью с, должен казаться имеющим эту же скорость всем наблюдателям – независимо от того, сколь быстро они движутся. Как указывалось ранее, уравнения Лоренца преобразуют время и пространство таким образом, что свет распространяется с одинаковой скоростью с с точки зрения всех наблюдателей.

Предположим, что автомобиль на рис. 9-1 движется теперь влево со скоростью, равной по величине u. Чему тогда равна скорость автомобиля в штрихованной системе отсчёта? В данном случае u_x=-u. Тогда релятивистское правило сложения скоростей примет вид:

.

Этот результат относится к случаю, когда скорости u_x и v имеют противоположные знаки.»

Релятивистские импульс и энергия

В СТО импульс даётся выражением: , где - скорость тела. Именно это выражение для импульса обеспечивает выполнение фундаментального закона сохранения импульса в рамках СТО. И ещё, видно, что до тех пор , пока скорость тела значительно меньше скорости света, приведённое здесь выражение для импульса практически совпадает с выражением для импульса в классической физике: .

В СТО вводится также новое определение энергии (полной): . Это выражение также обеспечивает выполнение фундаментального закона сохранения энергии в рамках СТО, в частности, при переходе из нештрихованной системы отсчёта в штрихованную. Посмотрим теперь , к чему приведёт новое определение энергии в «классическом пределе», т. е. при скоростях, значительно меньших, чем скорость света: для u/c<<1. Здесь было использовано биномиальное разложение: . Таким образом в пределе малых скоростей эйнштейновская энергия принимает вид . Заметим, что второе слагаемое – это классическая энергия свободной частицы с массой m и скоростью u. Следовательно, данное Эйнштейном определение энергии согласуется с классической механикой, если к кинетической энергии прибавить постоянную величину mc². В классической механике аддитивная постоянная в выражении для энергии может быть выбрана совершенно произвольно, однако в теории Эйнштейна это уже не так. В 1905 году Эйнштейн пришёл к выводу о том, что частица в состоянии покоя обладает запасом энергии E₀=mc²; он назвал её энергией покоя (или собственной энергией). С тех пор получено огромное число подтверждений такого смелого вывода, и одно из них – существование атомной бомбы.

При переходе из одной системы отсчёта в другую импульс и энергия преобразовываются в соответствие со следующими выражениями: p΄_x=γp_x+γβ(E/c), p΄_y=p_y, p΄_z=p_z, E΄/c=γ(E/c)+γβp_x, где E≡mγ(u)c², E΄≡mγ(u΄)c² и β≡v/c. Отсюда видно, что четыре величины p_x, p_y, p_z, E/c преобразуются в точности по тем же формулам, что и четыре величины x, y, z, ct, т. е. с помощью преобразований Лоренца.

В теории относительности определение кинетической энергии является тем же самым, что и в классической физике – это энергия, обусловленная движением частицы. Для свободной частицы её можно получить, вычитая из полной энергии энергию покоя: . Как указывалось ранее, если использовать разложение в ряд по малому параметру, то в случае скоростей, значительно меньших, чем скорость света, мы получим классическое выражение для кинетической энергии.

Релятивистская масса

Релятивистская масса даётся выражением: , где m – масса покоя (обычная масса). При данном выше определении релятивистских импульса и энергии это выражение не имеет физического смысла, и большинством серьёзных физиков отвергается.

Релятивистская сила

В СТО сила определяется выражением . При этом выполняется третий закон Ньютона. Заметим, что при таком определении силы, её величина и направление будут зависеть от скорости движущегося наблюдателя, тогда как в классической механике сила не зависит от скорости наблюдателя.

Релятивистские инварианты

Под инвариантом понимается физическая величина, не меняющаяся при переходе из одной системы отсчёта в другую¹⁴.

В СТО, как можно было заметить, при переходе из одной системы отсчёта в другую изменяются координаты тела, время (!), энергия, импульс, сила, значения вектора напряжённости электрического поля и вектора индукции магнитного поля и др. В частности, правила преобразования координат и времени даются т. н. преобразованиями Лоренца. По сходным правилам преобразуются и другие физические величины. Но существуют некие комбинации этих физических величин, имеющие определённый физический смысл, которые остаются неизменными (т. е. они – инварианты) в любых системах отсчёта. Рассмотрим некоторые из них.

Инвариантом является алгебраическая сумма электрических зарядов системы. Этот факт означает, что в СТО действует фундаментальный закон – закон сохранения электрического заряда.

Инвариантом является т. н. интервал: s= , где . Заметим, что в обычной механике инвариантом является как раз R.

Инвариантом является величина = , где Е и – полная энергия и импульс частицы соответственно. Это выражение можно рассматривать как определение массы. И масса частицы в СТО – это инвариант.

Инвариантом является величина Е²-с²В², где - вектор напряжённости электрического поля, а - вектор индукции магнитного поля. Отсюда следует вывод: единой физической реальностью является электромагнитное поле, а не отдельно взятые электрическое и магнитное поля¹⁵. Можно так выбрать систему отсчёта (например, такую, где заряд покоится), что будет равно нулю, но в другой системе отсчёта обнаруживаются оба вектора: и , и .