Преобразование Лоренца

«Я едва передвигаюсь, однако чувствую, что зашёл уже далеко».

«Видишь, сын мой, здесь время превращается в пространство».

(Сцена превращения из «Парсифаля» Р. Вагнера, 1877)

Далее мы увидим, что мечта поэта оказалась близка к истине. Преобразования Лоренца показывают, что время может превращаться в пространство и наоборот. Рассмотрим двух наблюдателей, движущихся с относительной скоростью v. Назовём одного м-ром Х, а другого – м-ром Х΄. М-р Х измеряет события в системе координат (x, y, z, t). Систему отсчёта, используемую м-ром Х΄, назовём штрихованной (рис. 8-9).

В классической механике соотношения между двумя системами отсчёта записываются в виде (преобразования Галилея): x΄=x+vt; y΄=y; z΄=z; t΄=t, при условии, что начала обеих систем в момент времени t΄= t=0 совпадают. В силу этих преобразований пучок света, распространяющийся вправо со скоростью с в нештрихованной системе, будет иметь скорость с+v в штрихованной. Нам нужно найти другие уравнения преобразований координат, а именно такие, чтобы тело, движущееся со скоростью v=c в нештрихованной системе, двигалось с такой же скоростью v΄=c в штрихованной системе; иными словами, если x=ct, то x΄=ct΄. Общий вид преобразования координат запишется следующим образом:

x΄=Ax+Bt (8-7),

t΄=Et+Fx (8-8);

здесь A,B,E,F могут быть функциями от v. Мы уже видели, что y΄=y, z΄=z в силу полученного ранее результата о равенстве поперечных длин, измеренных двумя наблюдателями. Для нахождения четырёх коэффициентов A,B,E,F требуется четыре уравнения. Рассмотрим прежде всего часы, расположенные неподвижно в точке х=0, и пусть время между их «тиканьями» составляет τ. В соответствии с известной формулой м-р Х΄ наблюдает движущиеся часы, время между «тиканьями» которых составляет γτ. Поскольку уравнение (8-8) справедливо для первого отсчёта, то этому уравнению должны удовлетворять значения x=0, t=τ, t΄= γτ: γτ=Eτ+0. Таким образом, Е=γ.

Согласно наблюдениям м-ра Х΄, часы движутся вправо со скоростью v; иными словами, он видит их при x΄=vt΄. Подставив в уравнение (8-7) это соотношение, а также x=0, имеем vt΄=0+Bt, откуда находим B=vt΄/t=vγ. Последнее равенство мы получили благодаря тому, что, как уже было показано, t΄= γτ.

Чтобы найти коэффициент А, поместим часы в начало системы координат м-ра Х΄. В соответствии с принципом относительности м-р Х должен видеть их удаляющимися влево со скоростью – v. Таким образом, x=-vt при x΄=0. Подставляем эти значения в уравнения (8-7), имеем 0=А(-vt)+( vγ) t, откуда находим А=γ. Таким образом уравнения (8-7) и (8-8) принимают вид x΄=γx+γv t, t΄=γ t+Fx. Используем, наконец, тот факт, что если x=сt, то x΄=ct΄. Подставив эти соотношения в последние два уравнения и разделив верхнее на нижнее, получим с= . Отсюда находим, что F= . Таким образом мы получили все четыре коэффициента, и в окончательном виде уравнения (8-7) и (8-8) запишутся следующим образом (преобразования Лоренца):

x΄=γx+γvt;

t΄=γt+γ .

В теории относительности время иногда называют четвёртым измерением. Точнее говоря, величина ct, имеющая ту же размерность, что и x, y, z, ведёт себя как четвёртая пространственная координата. Мы видим, что величины x и сt могут перемешиваться в зависимости от скорости наблюдателя. В теории относительности сt и x проявляют себя с математической точки зрения сходным образом.»

Легко получить и обратные преобразования Лоренца:

x=γx΄-γvt΄;

t=γt΄-γ ΄.