Практическое занятие 9 Метод потенциалов решения транспортной задачи

В симплекс-методе для нахождения нового базиса и принятия решения об оптимальности опор­ного плана ис­пользуется величина . В методе потенциалов предлага­ется другой прием, уменьшающий объем вычислений. Для этого вводится понятие цикла транспортной задачи.

Циклом в таблице условий транспортной задачи (табл.15) называется замкнутая ломаная, состоящая из звеньев, расположенных вдоль строк и столбцов, все вершины которой, кроме одной, расположены в занятых клетках таблицы. Для любой свободной клетки, то есть клетки, где на месте находится прочерк, можно построить лишь один цикл.

Суть метода потенциалов заключается в том, что после нахождения опорного плана каждому поставщику (строке) ставится в соответствие число , называемое потенциалом поставщика , а каждому потребителю (столбцу) – число , называемое потенциалом потребителя. Числа и выбирают так, чтобы в любой занятой клетке выполнялось равенство .

Если план транспортной задачи является оптимальным, то ему соответствует система из чисел и , удовлетворяющих условиям

для (1)

для (2)

Необходимое и достаточное условие оптимальности плана транспортной задачи в том, что ему должны соответствовать числа и , удовлетворяющие условиям для свободных и для занятых клеток.

Потенциалы находят из условия , где – стоимость перевозки единицы груза, указанная в i-ой строке и j-м столбце занятой клетки. Опорный план задачи содержит линейно независимых уравнений вида (53) с неизвестными. Число уравнений (число занятых клеток ) на единицу меньше числа неизвестных, поэтому одному неизвестному (обычно ) придают нулевое значение. Тогда остальные потенциалы определяются однозначно. Если в транспортной задаче число положительных компонент опорного плана , то его называют вырожденным.

Алгоритм метода потенциалов.

1. Находят первоначальный опорный план одним из рассмотренных методов.

2. Проверяют, будет ли число занятых клеток . Если это условие не выполнено, то опорный план вырожденный, недостающее число клеток заполняют нулевыми перевозками .

3. Вычисляют потенциалы и из условия, что для занятых клеток , при этом приравнивают нулю.

4. Для каждой свободной клетки определяют величину . Если все , полученный план является оптимальным. Если , этот план единственный. Если хотя бы одно , задача имеет бесконечное множество оптимальных планов. Если хотя бы одна оценка , переходят к пункту 5.

5. Находят значение , максимальное по модулю. Для соответствующей свободной клетки строят замкнутый цикл пересчета. Пусть . Построенный цикл обходят против часовой стрелки, присваивая вершинам по очереди знаки "+" и "–", начиная с клетки . Среди клеток с отрицательным знаком выбирают ту, в которую поставляется меньше всего груза.

Пусть . Тогда количество груза, равное , вычитают из клеток, отмеченных знаком "–", и прибавляют в клетках, отмеченных знаком "+". Так перемещают груз по вершинам цикла и получают новый опорный план. Для него вычисляют величину расходов на перевозку и переходят к пункту 3.

Если при перемещении груза по вершинам цикла отрицательных вершин с одинаковым значением несколько, то освобождают только одну вершину, а остальные считают занятыми с поставками груза , равными нулю. Занятые клетки, не являющиеся вершинами замкнутого цикла, переписывают, не меняя.

С экономической точки зрения клетка, которой отвечает значение , является наиболее «перспективной», ведущей к максимальному удешевлению транспортных издержек, так как показывает, на сколько единиц уменьшатся транспортные расходы при поставке в клетку одной единицы груза. При поставке груза в количестве единиц транспортные расходы уменьшатся на величину .

Пример 3. Найти оптимальный план транспортной задачи, исходные данные которой приведены в табл.20. Таблица 20

	30	30	10	20
50	1	2	4	1
30	2	3	1	5
10	3	2	4	4

Решение. Проверим закрытость модели: .

Составим первоначальный опорный план, используя метод северо-западного угла. Число занятых клеток должно быть 3 + 4 – 1 = = 6. Для занятых клеток найдем потенциалы поставщиков и потребителей и , принимая . Получим табл. 21.

Таблица 21

	30	30	10	20
50	1 30	– 2 2 0	4	+ 1	0
30	2	+ 3 10	1 10	– 5 10	1
10	3	2	4	4 10	0
	1	2	0	4

Найдем транспортные издержки и оценки для свободных клеток: