Практическое занятие 1 Математические модели задач математического программирования

Математическое моделирование – это изучение явления или процесса с помощью математической модели, т.е. математического описания изучаемого процесса, которое с достаточной степенью точности, но упрощенно отражает действительный процесс или явление.

Для составления математической модели следует:

1. Выбрать для задачи переменные величины ... , которые полностью характеризуют описываемый процесс;

2. Составить систему ограничений, представляющих совокупность уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи;

3. Задать целевую функцию L(X)= f( ... переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи , экстремум которой необходимо найти.

Если целевая функция и система ограничений линейны, то задача математического программирования называется задачей линейного программирования (ЗЛП).

В общем случае она формулируется так:

Найти переменные ... , доставляющие экстремум целевой функции

; (1)

и удовлетворяющие системе ограничений :

(2)

(3)

, , … , . (4)

Вектор , удовлетворяющий условиям (2)-(4), называется допустимым планом ЗЛП.

Опорный план , доставляющий минимум (максимум) целевой функции , называют оптимальным решением ЗЛП.

Рассмотрим примеры составления математических моделей некоторых управленческих задач:

1. Задача оптимального производственного планирования. Для изготовления п видов продукции используют m видов сырья. Запасы сырья, количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, а также величина прибыли, получаемая от реализации единицы продукции, приведены в табл.1. Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы от её реализации получить максимальную прибыль.

Таблица 1

Вид сырья	Запас сырья	Количество единиц сырья, необходимого для изготовления единицы продукции
		1		2	3		…		n
Прибыль от единицы продукции

Обозначим через – количество единиц продукции, планируемой к выпуску, – количество единиц сырья, необходимого для изготовления единицы продукции, индекс j соответствует виду продукции, индекс – виду сырья. Учитывая количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, а также объем запасов сырья, получим систему ограничений

Ее смысл в том, что количество сырья, расходуемое на изготовление продукции, не может превысить имеющихся запасов. Исходя из экономического смысла задачи, переменные не могут быть отрицательными

≥ 0, j = .

Конечная цель решаемой задачи – получить максимальную прибыль. Она описывается линейной функцией

.

Итак, математическая модель рассматриваемой экономической задачи имеет вид

;

, , … , .

2. Задача о диете, или задача об оптимальном составе смеси. Такие задачи возникают при смешивании различных компонент для получения смеси, удовлетворяющей определённым требованиям. Например, при получении наиболее экономичной смеси горючего для двигателей различных типов; составлении экономичной шихты для выплавки чугуна и стали. Задачи на смеси приходится решать при определении рациональных норм потребления продуктов питания, при планировании снабжения продуктами питания детских учреждений, больниц и т.д. Эти задачи возникают в животноводстве при составлении оптимального рациона откорма скота.

Рассмотрим простейшую постановку задачи. В сутки организм человека нуждается в m видах питательных веществ A_{1 ,} A_{2 ,} …, A_m в количествах не менее b₁, b₂, … , b_m соответственно. Эти питательные вещества содержатся в п видах продуктов B₁ , B₂ , …, B_n . Известно, что в одной единице продукта B_j содержание питательного вещества А_i, составляет a_ij единиц. Стоимость единицы продукта B_j составляет c_j рублей. Данные задачи представлены в табл.2.

Таблица 2

Питательные вещества	Норма питательных веществ	Количество единиц питательных веществ в 1 кг продукта
								…
Стоимость 1 кг продукта

Необходимо составить дневной рацион питания (меню) так, чтобы затраты на него были минимальными.

Пусть – количество продукта вида j, входящего в дневной рацион. Используем обозначения, приведённые в табл.2. Получаем систему ограничений

По смыслу задачи следует, что , j = .

Требование составить дневной рацион питания необходимого качества с минимальными затратами приводит к условию

.

Итак, для составления оптимального суточного меню нужно решить следующую задачу линейного программирования

;

, j = .

3. Задача о рациональной организации снабжения промышленного центра однородным продуктом.

Требуется организовать снабжение промышленного центра картофелем или углем. Продукт может привозиться в центр из пунктов. Пусть – количество продукта, поставляемое в центр из -го пункта, а – суммарная стоимость производства и перевозки единицы продукта из -го пункта. Тогда стоимость продукта, доставленного из -го пункта в центр, равна , а стоимость продукта, привезенного в центр из всех пунктов производства, равна

. (5)

Снабжение надо организовать так (выбрать ), чтобы обеспечить минимальную стоимость продукта в центре. При этом нужно учесть, что потребность центра в продукте, определяемая величиной , должна быть удовлетворена, но излишков быть не должно. Следовательно, искомые переменные должны удовлетворять условию:

. (6)

Производство продуктов в -м пункте ограничено величиной , а пропускная способность транспорта, который может быть использован для перевозки продукта из -го пункта, ограничена величиной . Пусть меньшее из двух чисел

Искомые переменные должны удовлетворять ограничениям

(7)

Кроме того, значения должны быть неотрицательны: перевозка продукта из центра в пункты его производства исключена

(8)

Если перевозка продукта из -го пункта может быть обеспечена двумя видами транспорта, то -й пункт целесообразно рассматривать как два пункта с разной стоимостью продукта.

Итак, мы пришли к задаче линейного программирования: необходимо обратить в минимум линейную функцию при линейных условиях (5) – (8).