8. Цепь с последовательным соединением r, l и c

На рисунке 21 показана однофазная электрическая цепь с последовательным включением резистивного r, индуктивного L и емкостного C элементов. Цепь замкнута на источник Е бесконечной мощности [2], то есть выполняется условие (U – действующее значение синусоидального напряжения на входе цепи).

Рис. 21

Запишем в векторной форме второй закон Кирхгофа для действующих значений напряжений применительно к рассматриваемой цепи (рис. 21):

(39)

Равенство (39) как второй закон Кирхгофа читается следующим образом.

В замкнутом электрическом контуре геометрическая сумма векторов действующих значений э.д.с. (в данном случае это только напряжение ) равна геометрической сумме векторов действующих значений падений напряжения на элементах, образующих этот контур (здесь эта сумма ).

Поскольку в последовательной цепи (рис. 21) ток I во всех трех элементах r, L и C один и тот же, то в соответствии с законом Ома для участка цепи можно записать выражения для модулей слагаемых векторов: U_a = Ir, U_L= Ix_L, U_C = Ix_C. В предыдущих разделах (1.5, 1.6, 1.7) были установлены углы сдвига по фазе между вектором тока I и соответствующими падениями напряжения φ_a = 0, φ_L = + ^π/₂, φ_C = – ^π/₂, что позволяет соответствующим образом сориентировать векторы и относительно общего вектора тока и найти суммарный вектор на входе цепи (рис. 21).

Рассмотрим порядок построения векторной диаграммы последовательной цепи (рис. 21) в соответствии с равенством (39).

Ранее (рис. 14, 17 и 20) векторные диаграммы строились для амплитудных значений синусоид тока (или напряжения) применительно к моменту времени t = 0, когда исходная синусоида имела нулевую начальную фазу (ψ_I = 0 или ψ_U = 0), что позволяло эту синусоиду представлять вектором амплитудного значения в виде горизонтального вектора со стрелкой вправо (рис. 14, 17, 20).

Сохраним этот прием и для рассматриваемой цепи, задавшись синусоидой тока с нулевой начальной фазой ψ_I = 0:

(40)

где – амплитуда тока.

Тогда вектор действующего значения тока I для момента времени t = 0 будет направлен, как показано на рисунке 22 а,б.

Выбрав масштаб для напряжений, изобразим векторы с учетом углов сдвига φ_a = 0, φ_L = + ^π/₂ и φ_C = – ^π/₂, совместив их начала с началом вектора (рис. 22а). При вращении всех четырех векторов против часовой стрелки с угловой частотой ω можно убедиться, что проходящую через центр вращения 0 «финишную ленточку», показанную на рисунке пунктиром, вначале пересекает вектор , через четверть периода – соответствующие векторы и , а еще через четверть периода – вектор (соответственно φ_L = + ^π/₂, φ_a = 0, φ_C = – ^π/₂).

Рис. 22

Рассмотрим подробно порядок построения векторной диаграммы последовательной цепи в соответствии с равенством (39), используя известный способ сложения нескольких векторов по правилу многоугольника. Согласно этому правилу, выбрав в качестве первого слагаемого один из векторов, остальные слагаемые векторы посредством параллельного переноса совмещают началами с концами предыдущих слагаемых векторов. Соединив начало первого слагаемого вектора с концом последнего, получают суммарный вектор.

Задавшись направлением вектора , в качестве первого слагаемого принимаем вектор (рис. 22б). В качестве второго слагаемого строим вектор параллельным переносом из рисунка 22а, совместив его начало с концом вектора . Проделав аналогичную операцию с третьим слагаемым , получим результирующий вектор напряжения на входе цепи , соединив начало первого слагаемого вектора с концом третьего (рис. 22б).

Очевидно полученная векторная диаграмма представляет собой графическое решение второго закона Кирхгофа, поскольку удовлетворяет уравнению (39). Как видно из векторной диаграммы на рисунке 22б, в заштрихованном векторном прямоугольном треугольнике противолежащий углу φ катет представляет собой вектор, длина которого U_p равна алгебраической разности U_p = U_L – U_C, поскольку векторы и находятся в противофазе, то есть сдвинуты на угол 180°. Результирующий вектор получил название «реактивное напряжение». Поскольку U_L = Ix_L, U_C = Ix_C., то

(41)

где – реактивное сопротивление.

Применив к треугольнику напряжений (рис. 22б) теорему Пифагора, получим

(42)

где – полное или кажущееся сопротивление.

Перепишем равенство (42) в виде

(43)

которое представляет собой закон Ома для последовательной цепи, читающийся так: ток прямо пропорционален напряжению на входе цепи. Коэффициентом пропорциональности для последовательной цепи является множитель ¹/_z.

Как видно из векторной диаграммы (рис. 22б) вектор напряжения опережает вектор тока на угол φ (с учетом направления вращения векторов против часовой стрелки). Это объясняется тем, что в рассматриваемом случае цепь носит индуктивный характер, то есть x_L > x_C и U_L > U_C. Знак такого угла φ принято считать положительным. Очевидно для рассматриваемого случая можно записать выражение для мгновенного значения синусоиды напряжения

(44)

Разделив все стороны векторного треугольника напряжений (рис. 23а) на одну и ту же величину тока I, получим подобный исходному скалярный треугольник сопротивлений (рис. 23б) со сторонами

.

Рис. 23

Если умножить стороны треугольника напряжений на величину тока I, или стороны треугольника сопротивлений на квадрат тока I², то получим еще один подобный треугольник мощностей (рис. 23в) со сторонами:

Р = U_a I = I² r – активная мощность [Вт];

Q = U_p I = I² x – реактивная мощность [вар];

S = U I = I² z – полная или кажущаяся мощность [ВА].

Как известно размерностью единицы мощности является ватт (Вт), который представляет собой произведение размерностей напряжения и тока [Вт[ = [В]×[А]. Применительно к цепям переменного тока принято различать три типа единицы мощности, хотя их размерность одна и та же:

• Вт (ватт) – единица активной (средней за период) мощности;

• вар (вольт-ампер реактивный) – единица реактивной мощности;

• ВА (вольт-ампер) – единица измерения полной (кажущейся) мощности.

Таким образом понятие мощности в электрической цепи синусоидального тока значительно шире, чем в цепях постоянного тока, хотя единица измерения одна и та же, а именно «ватт».

Очевидно мгновенная мощность р на входе рассматриваемой последовательной цепи равна произведению синусоиды напряжения на синусоиду тока, то есть необходимо перемножить правые части равенств (44) и (40):

(45)

После ряда преобразований правой части равенства (45), подробно рассмотренных в [1], можно получить выражение для мгновенной мощности в виде:

(46)

где P = Scosφ – активная (средняя за период) мощность;

S = UI – полная (кажущаяся) мощность (рис. 23в).

Как видно из равенства (46), мгновенная мощность р пульсирует с двойной частотой 2ω относительно средней (активной) мощности Р, причем амплитуда косинусоиды двойной частоты при φ  0 больше среднего значения (S > P), то есть график мгновенной мощности будет иметь отрицательные участки в пределах угла φ  0 (рис. 27б).