2. Символический медот расчета цепей синусоидального тока

1. Общие замечания

Ранее были рассмотрены два метода расчета цепей синусоидального тока: аналитический и графический (метод векторных диаграмм).

Аналитический метод основан на алгебраических операциях с мгновенными значениями синусоидальных напряжений и токов. Он дает точные результаты, но является громоздким, особенно при расчете сложных цепей.

Метод векторных диаграмм основан на геометрическом сложении векторов, изображающих синусоидальные токи и напряжения. Этот метод нагляден, позволяет получить ряд полезных для расчета формул, однако дает погрешности при численных расчетах, связанные необходимостью проведения графических операций.

Поэтому был предложен символический метод, основанный на алгебраических операциях с комплексными числами, изображающими синусоидальные токи, напряжения, сопротивления, проводимости и мощности.

Символический метод также называют комплексным методом, поскольку основан на использовании алгебры комплексных чисел.

Символический (комплексный) метод совмещает наглядность метода векторных диаграмм и точность результатов расчета аналитического метода.

2. Основные определения и алгебраические операции с комплексными числами

В отличие от действительных (вещественных) чисел, которые можно представить точками на числовой оси, комплексное число представляет собой более общее понятие числа и изображается точкой на числовой плоскости с прямоугольной системой координат +1, +j.

На рисунке 32 комплексное число представлено в виде точки в первом квадранте системы координат +1, +j числовой (комплексной) плоскости с координатами: а – по оси действительных +1 и b – по оси мнимых +j величин.

Комплексное число может быть представлено в алгебраической форме записи

(64)

где а – действительная (Re) часть числа: ;

b – мнимая (Im) часть: ;

– мнимая единица (j² = –1; –j² = +1).

Отрезок с (вещественное число), измеряемый от начала координат 0 (рис. 32), называется модулем (mod) комплексного числа: , . Угол  между отрезком с и осью вещественных +1, называется аргументом (arg) комплексного числа: , (рис. 32).

Рис. 32

Кроме алгебраической, существуют еще две равнозначные ей формы записи комплексного числа:

тригонометрическая, как это следует из рисунка 32,

(65)

и показательная

(66)

,

которая вытекает из тригонометрической формы(65) с учетом известных формул Эйлера

(67)

На практике обычно используют две формы записи комплексного числа: алгебраическую и показательную.

Сложение и вычитание комплексных чисел удобнее производить в алгебраической форме записи, а умножение и деление – в показательной форме.

Пусть заданы два комплексных числа в алгебраической и показательной форме записи:

и .

Сложение и вычитание производится следующим образом:

то есть отдельно складываются (вычитаются) действительные и мнимые части комплексных чисел: .

Умножение и деление можно производить, используя обе формы записи (алгебраическую и показательную), отдавая предпочтение показательной форме.

Проделаем эти операции, используя показательную форму записи:

умножение ,

то есть модуль комплекса произведения с равен произведению модулей перемножаемых чисел, а аргумент произведения  равен сумме аргументов (c = c₁c₂;  = ₁ + ₂);

деление ,

то есть модуль частного получается делением модулей делимого и делителя, а аргумент – вычитанием соответствующих аргументов .

Множитель e^j в показательной форме записи комплексного числа называется оператором поворота вектора на угол  в положительном направлении, то есть против часовой стрелки. Очевидно множитель e^–j – оператор поворота вектора на угол  в отрицательном направлении, то есть по часовой стрелке.

В частности, умножив в качестве единичного вектора положительную полуось действительных величин +1 на оператор (формула Эйлера), получим новый вектор +j, то есть положительную полуось мнимых величин. Таким образом: +j – оператор поворота на 90° против часовой стрелки, а –j – оператор поворота на 90° по часовой стрелке (в отрицательном направлении). Умножив положительную полуось действительных величин +1 на оператор поворота , получим отрицательную полуось мнимых величин.

Введем понятие о сопряженном комплексном числе. Сопряженным комплексным числом (рис. 32) называется такое число, которое отличается от исходного комплексного числа только знаком мнимой части (знаком аргумента в показательной форме записи). Если комплексное число имеет вид , то сопряженное с ним число . Покажем, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное число, равное квадрату модуля, то есть сумме квадратов двух действительных чисел:

при алгебраической форме записи

;

при показательной форме записи

.

Таким образом можно убедиться, что понятие комплексного числа является более общим по сравнению с действительными (вещественными) числами. В алгебре действительных чисел можно разложить на множители только разность квадратов: . Использование комплексных чисел позволяет разложить на множители (сопряженные комплексные числа) и сумму квадратов действительных чисел: .

При алгебраических операциях с комплексными числами, как правило, возникает необходимость устранения мнимой единицы в знаменателе дроби. Для этого необходимо домножить числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю комплексное число. Например, необходимо преобразовать выражение :

,

где c² = a² + b² – квадрат модуля исходного комплексного числа в знаменателе.