7. Мощность трехфазной цепи

Поскольку трехфазная цепь представляет собой совокупность трех однофазных цепей, то мощность трехфазной цепи равна сумме мощностей всех трех фаз.

Как известно [1], в цепях синусоидального тока различают понятия мгновенной, активной (средней за период), реактивной и полной (кажущейся) мощностей.

Напомним выражение для мгновенной мощности [1] однофазной цепи

p

(27)

= ui = UIcosφ – UIcos(2ωt – φ) = P – Scos(2ωt – φ),

где P = UIcosφ – активная мощность;

S = UI – полная мощность ,

Q = UIsinφ – реактивная мощность;

φ – угол сдвига между током I и напряжением U на входе цепи ; .

.

Будем рассматривать трехфазную цепь, соединенную звездой с нейтральным проводом, в общем случае несимметричной нагрузки. Запишем выражения для мгновенных мощностей фаз приемника

p_A = u_Ai_A; p_B = u_Bi_B; p_C = u_Ci_C.

При наличии нейтрального провода система фазных напряжений не приемнике симметрична, то есть

(28)

Если приемник несимметричен (Z_a  Z_b  Z_c), то мгновенные значения фазных (линейных) токов можно записать в виде:

(29)

Сделав подстановки (28) и (29) в формулы мгновенных мощностей, получим по аналогии с (27) следующие зависимости:

(30)

Активная (средняя за период) мощность трехфазной цепи равна сумме активных мощностей всех трех фаз

(31)

Соответственно реактивная Q и полная S мощности трехфазной цепи равны

(32)

(33)

Рассмотрим случай симметричной нагрузки, при которой U_A = U_B = U_C = U_Ф, I_A = I_B = I_C = I_Ф, φ_A = φ_B = φ_C = φ.

Сделав соответствующие подстановки в равенство (31), получим

P

(34)

= 3U_ФI_Фcosφ = 3P_Ф = const.

После аналогичных подстановок в равенства (30) можно получить суммарную мгновенную мощность симметричного приемника в виде

p

(35)

= p_A = p_B = p_C = 3P_Ф = const,

поскольку три косинусоиды двойной частоты 2ω с одинаковой амплитудой U_ФI_Ф = S_Ф при суммировании обращаются в ноль, так как сдвинуты на угол ^4π/₃ относительно друг друга, образуя симметричную звезду векторов (рис. 23).

Т аким образом, в отличие от однофазной цепи, мгновенная мощность в которой пульсирует с двойной частотой относительно средней (активной) мощности Р (27), мгновенная мощность трехфазной цепи при симметричной нагрузке есть величина постоянная p = 3P_Ф = const, то есть не содержит пульсирующих составляющих.

Поэтому трехфазная цепь при симметричной нагрузке называется уравновешенной, в отличие от однофазной цепи, которая является неуравновешенной.

Трехфазные электродвигатели (асинхронные и синхронные), которые являются симметричными приемниками, потребляют из питающей сети мощность и развивают вращающий электромагнитный момент, не содержащие пульсирующих с двойной частотой составляющих (в отличие от двигателей однофазного тока).

Для симметричных приемников, соединенных звездой или треугольником, принято активную, реактивную и полную мощности [1] выражать в расчетных формулах через линейные величины напряжений и токов.

При соединении звездой: .

Активная мощность:

(36)

.

Реактивная мощность:

(37)

.

Полная (кажущаяся) мощность:

(38)

.

При соединении треугольником: .

Активная мощность:

Реактивная мощность:

Полная (кажущаяся) мощность:

Таким образом расчетные формулы мощности получаются одинаковыми при соединении фаз симметричного приемника и звездой и треугольником.

Необходимо помнить, что угол φ в этих формулах – это угол сдвига между фазными токами и фазными напряжениями.

Сравнение условий работы симметричного приемника при соединении его фаз треугольником и звездой. Соединение фаз приемника треугольником часто переключается на соединение звездой для изменения величины тока и мощности, например, для уменьшения температуры трехфазных электрических печей и т.д.

На рисунке 24 показана схема симметричного приемника, фазы которого a–x, b–y, c–z с помощью переключателя П можно соединить либо звездой (нижнее положение переключателя), либо треугольником (верхнее положение).

Рис. 24

Линейное напряжение питающей трехфазной сети А, В,С обозначим U_Л (на рис. 24 показано U_Л = U_АВ).

Предположим, что при замкнутом трехполюсном рубильнике Р переключатель П находится в нижнем положении (Y), то есть приемник подключен к питающей сети звездой, поскольку концы фаз x, y, z объединены в электрический узел n – нейтральную точку.

Фазное напряжение приемника, соединенного звездой: . В соответствии с законом Ома фазный (линейный) ток .

Если переключатель П переведен в верхнее положение (), то приемник оказывается включенным треугольником. При этом фазное напряжение ; фазный ток ; линейный ток . Отношение линейного тока треугольника к линейному току звезды:

(39)

,

то есть при включении приемника треугольником ток в линии в три раза больше, чем при соединении звездой (фазный ток – в раз: ).

Поскольку формулы мощности симметричного приемника, выраженные через линейные напряжения и токи, одинаковы для звезды и треугольника (36), (37), (38), а линейное напряжение в питающей линии одно и то же U_Л, то в соответствии с (39) справедливы следующие соотношения:

(40)

.

Рассмотренная выше (рис. 24) схема переключения симметричного приемника применяется в частности при пуске мощных асинхронных двигателей с короткозамкнутым ротором, у которых в нормальном рабочем режиме обмотка статора должна быть включена треугольником. Прямой пуск таких двигателей (включением обмотки статора непосредственно в питающую сеть) недопустим в виду больших пусковых токов, превышающих номинальный ток в 47 раз. Такие большие токи создают значительные потери («просадки») напряжения в питающей линии, что неблагоприятно сказывается на работе других потребителей, питающихся от этой же сети. Поэтому существует ряд схем пуска мощных двигателей, снижающих пусковые токи (автотрансформаторный пуск, включение в цепь статора токоограничивающих реакторов).

Рассмотренная схема (рис. 24) позволяет снизить ток в питающей линии в три раза. Для этого на период пуска фазы обмотки статора включаются звездой, а после разгона ротора переключаются на треугольник. Недостатком такой схемы пуска является снижение пускового момента, зависящего от квадрата фазного напряжения, в три раза. Поэтому такой пуск обычно применяют при отсутствии нагрузки на валу (вхолостую).