7. Линейные преобразования.

Опр. Говорят, что в векторном пространстве L задан оператор или преобразование , если каждому вектору поставлен в соответствие вектор .

Опр. Оператор или преобразование , называется линейным, если для и числа выполняется условие:

1.

2. .

Вектор называется образом вектора . Вектор - называется прообразом вектора .

Замечание: Линейное преобразование называется линейным оператором , а также линейным отображением.

Геометрический смысл свойств.

Свойство 1 – означает, что диагональ параллелограмма, построенного на векторах отображается в диагональ параллелограмма, построенного на векторах .

Свойство 2 - означает, что если вектор увеличился в  раз то вектор тоже увеличился в  раз.

Следовательно, при линейном отображении коллинеарные вектора переходят в коллинеарные.

Примеры линейных преобразований:

1.) Преобразование, которое вектор отображает в вектор , является линейным и называется тождественным .

2.) Преобразование, которое вектору ставит в соответствие вектор , является линейным. Геометрически преобразование представляет собой однородное растяжение (сжатие) всех векторов пространства. Такое преобразование называется гомотетией. При =0 преобразование называется нулевым и обозначается .

8. Матрица линейного преобразования.

Пусть в линейном пространстве L задан базис , , …, . Тогда любой вектор можно представить . Пусть в нашем пространстве задан линейный оператор . Можно показать, что матрица оператора в базисе , , …, есть .

Найдем .

(1)

Разложение вектора по базису будет иметь вид . Придавая i значения i=1,2,…,n, запишем разложение векторов … по базису , , …, .

(2)

…………………………………………..

Пусть вектор в базисе , , …, имеет координаты , то есть

(3).

Подставим (2) и (3) в (1) получим:

Соберем подобные при , , …, , получим (4)

Дает связь между координатами вектора и .

это матрица линейного оператора в базисе , , …, .

9. Собственные векторы и собственные числа.

Опр. Пусть дано линейное преобразование . Не нулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования, если , где  - действительное число, оно называется собственным числом или собственным значением вектора . Равенство можно представить в виде

. (5)

Замечание. Определение означает, что вектор переходит в коллинеарный вектор .

Найдем собственные векторы и собственные значения. Для этого рассмотрим линейное пространство R с базисом , , …, и вектор

, (6)

Матрица линейного оператора в базисе есть

Матрица тождественного оператора в этом же базисе есть

, так как он отображает вектор в , тогда запишем выражение (5) в матричном виде: или

.

В результате получим однородную систему

(7)

Однородная система, всегда совместна. Если r<n имеет не нулевые решения, что возможно при М_n=0,то есть

(8)

Это выражение называется характеристическое уравнение. Решая его найдем собственные числа . Подставив их в систему (7) найдем собственные векторы .